Метод Гамильтона-Якоби

[Vlid]

Добрый день! Пытаюсь найти действие из уравнения Гамильтона-Якоби:
$\dfrac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial S}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial S}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)=0$
Ищу решение в виде:
$S=-ht+\tilde{S}(q_1,q_2)$
Далее диагонализировал хвост с заменой переменных:
$\begin{cases} q_1=z_1-z_2 \\ q_2=z_1+z_2 \\ \end{cases} $

$ \begin{cases} z_1=\dfrac{q_1+q_2}{2} \\ z_2=\dfrac{q_1-q_2}{2} \\ \end{cases} $
$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$
Однако дальше не знаю как перейти к этим переменным в дифференциалах. Можете подсказать, пожалуйста?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- дефис в заголовке заодно поставьте.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[amon]

Vlid в сообщении #1502246 писал(а):

$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$

Во-первых, у Вас лабуда в арифметике. Во-вторых, не может уравнение зависеть сразу и от $z$ и от $q.$ А в третьих, в методе Гамильтона-Якоби ищут полный интеграл уравнения, как правило, методом разделения переменных. Вот и делите.

[Vlid]

amon в сообщении #1502257 писал(а):

Vlid в сообщении #1502246 писал(а):

$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$

Во-первых, у Вас лабуда в арифметике. Во-вторых, не может уравнение зависеть сразу и от $z$ и от $q.$ А в третьих, в методе Гамильтона-Якоби ищут полный интеграл уравнения, как правило, методом разделения переменных. Вот и делите.

Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$

[amon]

Vlid в сообщении #1502260 писал(а):

Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$

У-у, как все запущено. Вы уже в переходе от
$\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)$ к $\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)$ проврались. Первое выражение всегда неотрицательно, а второе - нет. Переход в производных происходит так:

$$\frac{\partial}{\partial q_1}=\frac{\partial z_1}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_1}+\frac{\partial z_2}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_2},$$

аналогично для $q_2.$ Дерзайте.

[Vlid]

amon в сообщении #1502279 писал(а):

Vlid в сообщении #1502260 писал(а):

Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$

У-у, как все запущено. Вы уже в переходе от
$\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)$ к $\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)$ проврались. Первое выражение всегда неотрицательно, а второе - нет. Переход в производных происходит так:

$$\frac{\partial}{\partial q_1}=\frac{\partial z_1}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_1}+\frac{\partial z_2}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_2},$$

аналогично для $q_2.$ Дерзайте.

Спасибо, есть неточности в этом переходе - механическая ошибка. Там должно быть $z^2_1+3z^2_2$. Не вижу необходимости комментировать мои навыки в математике, извините. За дифференциалы спасибо большое!

[amon]

Vlid в сообщении #1502293 писал(а):

Там должно быть $z^2_1+3z^2_2$.

Не совсем. Еще общий множитель потерян. А по поводу запущенности - это констатация факта и руководство к действию. Надо подтягивать математику, если хотите чего-то добиться на научном поприще.

[Red_Herring]

Что вас интересует? Найти общее решение малореально, частное малоинтересно. Но вот решить задачу Коши... Возьмите любой приличный учебник УЧП, содержащий нелинейные уравнения 1го порядка и прочтите, как это сделать через решение соответсвующей системы ОДУ

[amon]

Red_Herring в сообщении #1502341 писал(а):

Найти общее решение малореально, частное малоинтересно.

Метод Гамильтона-Якоби это специальный метод решения механических задач. Надо найти решение, зависящее от $n$ произвольных констант ($n$ - число степеней свободы).

[hnau]

а какая связь между решением задачи Коши и полным интегралом?

[amon]

hnau в сообщении #1504724 писал(а):

какая связь между решением задачи Коши и полным интегралом?

Уравнение Гамильтона-Якоби это уравнение на производящую функцию канонического преобразования, превращающего все канонические переменные в константы, т.е. надо получить решение в виде $F(q_1,\dots,q_n,P_1,\dots,P_n),$ где $P_i$ - какие-то константы. При этом, $\frac{\partial F}{\partial P_i}=Q_i,$ где $Q_i$ - опять какая-то константа. Решив это уравнение относительно $q_i$ получим $q_i(t,P_1,\dots,P_n,Q_1,\dots,Q_n),$ т.е. то самое решение задачи Коши.

[hnau]

я имел в виду как из решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби получить полный интеграл для уравнения Гамильтона-Якоби

[пианист]

Включить в зК достаточное число параметров, которые и будут теми самыми константами.