2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 11:59 


22/01/21
6
Добрый день! Пытаюсь найти действие из уравнения Гамильтона-Якоби:
$\dfrac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial S}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial S}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)=0$
Ищу решение в виде:
$S=-ht+\tilde{S}(q_1,q_2)$
Далее диагонализировал хвост с заменой переменных:
$\begin{cases}
 q_1=z_1-z_2 \\
 q_2=z_1+z_2 \\
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
 z_1=\dfrac{q_1+q_2}{2} \\
 z_2=\dfrac{q_1-q_2}{2} \\
\end{cases}
$
$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$
Однако дальше не знаю как перейти к этим переменным в дифференциалах. Можете подсказать, пожалуйста?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.01.2021, 12:27 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- дефис в заголовке заодно поставьте.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.01.2021, 14:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Vlid в сообщении #1502246 писал(а):
$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$
Во-первых, у Вас лабуда в арифметике. Во-вторых, не может уравнение зависеть сразу и от $z$ и от $q.$ А в третьих, в методе Гамильтона-Якоби ищут полный интеграл уравнения, как правило, методом разделения переменных. Вот и делите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 14:34 


22/01/21
6
amon в сообщении #1502257 писал(а):
Vlid в сообщении #1502246 писал(а):
$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$
Во-первых, у Вас лабуда в арифметике. Во-вторых, не может уравнение зависеть сразу и от $z$ и от $q.$ А в третьих, в методе Гамильтона-Якоби ищут полный интеграл уравнения, как правило, методом разделения переменных. Вот и делите.

Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Vlid в сообщении #1502260 писал(а):
Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$
У-у, как все запущено. Вы уже в переходе от
$\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)$ к $\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)$ проврались. Первое выражение всегда неотрицательно, а второе - нет. Переход в производных происходит так:
$$\frac{\partial}{\partial q_1}=\frac{\partial z_1}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_1}+\frac{\partial z_2}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_2},$$ аналогично для $q_2.$ Дерзайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 18:00 


22/01/21
6
amon в сообщении #1502279 писал(а):
Vlid в сообщении #1502260 писал(а):
Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$
У-у, как все запущено. Вы уже в переходе от
$\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)$ к $\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)$ проврались. Первое выражение всегда неотрицательно, а второе - нет. Переход в производных происходит так:
$$\frac{\partial}{\partial q_1}=\frac{\partial z_1}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_1}+\frac{\partial z_2}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_2},$$ аналогично для $q_2.$ Дерзайте.

Спасибо, есть неточности в этом переходе - механическая ошибка. Там должно быть $z^2_1+3z^2_2$. Не вижу необходимости комментировать мои навыки в математике, извините. За дифференциалы спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Vlid в сообщении #1502293 писал(а):
Там должно быть $z^2_1+3z^2_2$.
Не совсем. Еще общий множитель потерян. А по поводу запущенности - это констатация факта и руководство к действию. Надо подтягивать математику, если хотите чего-то добиться на научном поприще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение23.01.2021, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Что вас интересует? Найти общее решение малореально, частное малоинтересно. Но вот решить задачу Коши... Возьмите любой приличный учебник УЧП, содержащий нелинейные уравнения 1го порядка и прочтите, как это сделать через решение соответсвующей системы ОДУ

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение23.01.2021, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1502341 писал(а):
Найти общее решение малореально, частное малоинтересно.
Метод Гамильтона-Якоби это специальный метод решения механических задач. Надо найти решение, зависящее от $n$ произвольных констант ($n$ - число степеней свободы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение11.02.2021, 14:41 


11/02/21
2
а какая связь между решением задачи Коши и полным интегралом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение11.02.2021, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
hnau в сообщении #1504724 писал(а):
какая связь между решением задачи Коши и полным интегралом?
Уравнение Гамильтона-Якоби это уравнение на производящую функцию канонического преобразования, превращающего все канонические переменные в константы, т.е. надо получить решение в виде $F(q_1,\dots,q_n,P_1,\dots,P_n),$ где $P_i$ - какие-то константы. При этом, $\frac{\partial F}{\partial P_i}=Q_i,$ где $Q_i$ - опять какая-то константа. Решив это уравнение относительно $q_i$ получим $q_i(t,P_1,\dots,P_n,Q_1,\dots,Q_n),$ т.е. то самое решение задачи Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение14.02.2021, 10:35 


11/02/21
2
я имел в виду как из решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби получить полный интеграл для уравнения Гамильтона-Якоби

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение14.02.2021, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Включить в зК достаточное число параметров, которые и будут теми самыми константами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group