2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 11:59 


22/01/21
6
Добрый день! Пытаюсь найти действие из уравнения Гамильтона-Якоби:
$\dfrac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial S}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial S}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)=0$
Ищу решение в виде:
$S=-ht+\tilde{S}(q_1,q_2)$
Далее диагонализировал хвост с заменой переменных:
$\begin{cases}
 q_1=z_1-z_2 \\
 q_2=z_1+z_2 \\
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
 z_1=\dfrac{q_1+q_2}{2} \\
 z_2=\dfrac{q_1-q_2}{2} \\
\end{cases}
$
$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$
Однако дальше не знаю как перейти к этим переменным в дифференциалах. Можете подсказать, пожалуйста?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.01.2021, 12:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22806
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- дефис в заголовке заодно поставьте.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.01.2021, 14:04 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22806
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4312
ФТИ им. Иоффе СПб
Vlid в сообщении #1502246 писал(а):
$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$
Во-первых, у Вас лабуда в арифметике. Во-вторых, не может уравнение зависеть сразу и от $z$ и от $q.$ А в третьих, в методе Гамильтона-Якоби ищут полный интеграл уравнения, как правило, методом разделения переменных. Вот и делите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 14:34 


22/01/21
6
amon в сообщении #1502257 писал(а):
Vlid в сообщении #1502246 писал(а):
$-h+\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1} \right)^2+ \frac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2} \right)^2+\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)=0$
Во-первых, у Вас лабуда в арифметике. Во-вторых, не может уравнение зависеть сразу и от $z$ и от $q.$ А в третьих, в методе Гамильтона-Якоби ищут полный интеграл уравнения, как правило, методом разделения переменных. Вот и делите.

Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4312
ФТИ им. Иоффе СПб
Vlid в сообщении #1502260 писал(а):
Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$
У-у, как все запущено. Вы уже в переходе от
$\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)$ к $\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)$ проврались. Первое выражение всегда неотрицательно, а второе - нет. Переход в производных происходит так:
$$\frac{\partial}{\partial q_1}=\frac{\partial z_1}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_1}+\frac{\partial z_2}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_2},$$ аналогично для $q_2.$ Дерзайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 18:00 


22/01/21
6
amon в сообщении #1502279 писал(а):
Vlid в сообщении #1502260 писал(а):
Как раз хочу их разделить, но не знаю как через новые переменные $z_1$ и $z_2$ выразить дифференциалы $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_1}$, $\frac{\partial \tilde{S}}{\partial q_2}$
У-у, как все запущено. Вы уже в переходе от
$\dfrac{k}{2}(q^2_1+(q_2-q_1)^2+q^2_2)$ к $\dfrac{k}{2}(z^2_1-z^2_2)$ проврались. Первое выражение всегда неотрицательно, а второе - нет. Переход в производных происходит так:
$$\frac{\partial}{\partial q_1}=\frac{\partial z_1}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_1}+\frac{\partial z_2}{\partial q_1}\frac{\partial}{\partial z_2},$$ аналогично для $q_2.$ Дерзайте.

Спасибо, есть неточности в этом переходе - механическая ошибка. Там должно быть $z^2_1+3z^2_2$. Не вижу необходимости комментировать мои навыки в математике, извините. За дифференциалы спасибо большое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение22.01.2021, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4312
ФТИ им. Иоффе СПб
Vlid в сообщении #1502293 писал(а):
Там должно быть $z^2_1+3z^2_2$.
Не совсем. Еще общий множитель потерян. А по поводу запущенности - это констатация факта и руководство к действию. Надо подтягивать математику, если хотите чего-то добиться на научном поприще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение23.01.2021, 01:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10096
Hogtown
Что вас интересует? Найти общее решение малореально, частное малоинтересно. Но вот решить задачу Коши... Возьмите любой приличный учебник УЧП, содержащий нелинейные уравнения 1го порядка и прочтите, как это сделать через решение соответсвующей системы ОДУ

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение23.01.2021, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4312
ФТИ им. Иоффе СПб
Red_Herring в сообщении #1502341 писал(а):
Найти общее решение малореально, частное малоинтересно.
Метод Гамильтона-Якоби это специальный метод решения механических задач. Надо найти решение, зависящее от $n$ произвольных констант ($n$ - число степеней свободы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение11.02.2021, 14:41 


11/02/21
2
а какая связь между решением задачи Коши и полным интегралом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение11.02.2021, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4312
ФТИ им. Иоффе СПб
hnau в сообщении #1504724 писал(а):
какая связь между решением задачи Коши и полным интегралом?
Уравнение Гамильтона-Якоби это уравнение на производящую функцию канонического преобразования, превращающего все канонические переменные в константы, т.е. надо получить решение в виде $F(q_1,\dots,q_n,P_1,\dots,P_n),$ где $P_i$ - какие-то константы. При этом, $\frac{\partial F}{\partial P_i}=Q_i,$ где $Q_i$ - опять какая-то константа. Решив это уравнение относительно $q_i$ получим $q_i(t,P_1,\dots,P_n,Q_1,\dots,Q_n),$ т.е. то самое решение задачи Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение14.02.2021, 10:35 


11/02/21
2
я имел в виду как из решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби получить полный интеграл для уравнения Гамильтона-Якоби

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Гамильтона-Якоби
Сообщение14.02.2021, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1304
МО
Включить в зК достаточное число параметров, которые и будут теми самыми константами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group