Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа

[dtn888]

Тогда, как его можно выполнить?

-- 18.01.2021, 11:16 --

Mathematica под рукой. Можно попробовать посчитать/повычислять.

[B@R5uk]

dtn888, вам ничего делать не надо. Вблизи своего экстремума целевая функция $F(x)$ имеет вид:

$$F(x)\simeq \frac{\beta}{2}(x-x^*)^2$$

для некоторого $\beta\ge0$. При подстановке в уравнение это как раз даст экспоненциальную сходимость, если $\beta>0$.

Первая проблема, которая может возникнуть, — это наличие у целевой функции пологих областей с нулевой производной, которые не являются минимумами. При неудачном выборе начального условия система будет принимать такие точки за минимумы и экспоненциально к ним стремиться. Вторая проблема возникает при $\beta=0$, то есть когда целевая функция в минимуме является слишком "плоской". В таком случае не будет экспоненциальной сходимости.

[dtn888]

Цитата:

Вблизи своего экстремума

А в далеке? (вопрос риторический)

Цитата:

целевая функция $F(x)$ имеет вид

Да, это так.

Цитата:

Первая проблема, которая может возникнуть, — это наличие у целевой функции пологих областей с нулевой производной, которые не являются минимумами. При неудачном выборе начального условия система будет принимать такие точки за минимумы и экспоненциально к ним стремиться. Вторая проблема возникает при $\beta=0$, то есть когда целевая функция в минимуме является слишком "плоской". В таком случае не будет экспоненциальной сходимости.

Всё верно. Задача в этом и состоит - из любой точки сделать переход в экстремум экспоненциальным с заданной постоянной времени. Даже если начальная точка находится далеко от экстремума.

[B@R5uk]

Ну, можно взять, например, очевидную систему

$$\frac{dx}{dt}=\beta\operatorname{sgn}\left(\frac{dF}{dx}\right)$$

Тогда точка придёт в минимум за конечное (!!!) время с заданной скоростью. Круче будет уже некуда. Проблемы с точками, в которых функция монотонна, но горизонтальна, правда, останутся.

[dtn888]

Цитата:

Ну, можно взять, например, очевидную систему

Не самый хороший вариант... Объясню, почему.

В будущем планируется экспериментировать с реальными системами, а значит понадобится способ или устройство измерения градиента. Мне известны два основных (всё остальное их вариации):

1. Введение поискового сигнала в управляемый параметр (например синус) и оценка градиента разложением экстремальной функции в ряд Тейлора.

Недостаток: ввиду наличия гармонического поискового сигнала, знак градиента $sgn(\frac{dF}{dx})$ также будет знакопеременным, что создаст в сигнале ненужные колебательные составляющие сложной формы.

2. Модификация дифференцирующего фильтра.

Недостаток: 3-4, если не ошибаюсь, настраиваемых параметра, которые, к тому же, имеют сложную взаимосвязь друг с другом. Тяжело настраивать.

В 1-м случае - качество переходных процессов оставляет желать лучшего, во 2-м - та проблема, с которой я в этой теме борюсь.

-- 18.01.2021, 16:49 --

Это уже уход в сторону, не имеющий особого отношения к делу. Я не специалист в диффурах, но мне кажется ,что может помочь либо принцип максимума Понтрягина, либо "PDE (Partial Differential Equation) Control", либо метод локализации:

[url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_локализации[/url]

-- 18.01.2021, 17:03 --

Так что, самый лучший вариант: адаптивные системы, входной управляющий сигнал или введение вспомогательной переменной, т.е модификация исходного ДУ. Проблема выбрать нужный критерий.

[dtn888]

Пробую поставить задачу по другому.

Есть следующая нелинейная система:

$x'= f(x)+u , y=f(x)$

где $f(x)$ - градиент некоторой одноэкстремальной функции (например $f =e^{-(x)^2}$), т.е. $\frac{df}{dx}$.

Задача:
Я хочу построить непрерывный управляющий сигнал $u$, обеспечивающий выполнение следующего условия:

$y(t)=y(0)e^{-\beta t}, \beta>0$

Какой метод использовать для решения: адаптивное управление с эталонной моделью, асимптотическое отслеживание выхода, стабилизация, линеаризация обратной связью или что-то еще?

Я не специалист по нелинейной теории управления, поэтому мне понадобится помощью специалистов.

[VPro]

Из вашей постановки сразу следует решение: $u(y,t)=y(0)e^{-\beta t}-y$. Почему-то мне кажется, что оно Вас не устроит.
Тогда давайте для начала хотя бы задачу поставим грамотно и полно:
Имеется система:
$\frac{dx}{dt}=g(x)+u,\ x(0)=x_0,\ x\in R^n,\ g(x)=\frac{df(x)}{dx}$
Мы наблюдаем вектор $y(t)=g(x(t)) $ (Так? Может еще что-то можем наблюдать, например, $x(t)$?)
Ограничения на управление: $u -$ непрерывно. (Всё или еще что-то, например ограничение на величину?)
Цель управления: Обеспечить выполнение условия $y=y(0)e^{-\beta t}$ на интервале: (?), где параметр $\beta$ задается(?), определяется из (?)
Условие должно выполняться точно(?), приближенно(?), как можно точнее в смысле минимума функционала (?).
Дополнительные ограничения и требования: (?) (например,устойчивость решения)

Вот когда Вы ответите на все вопросы, тогда можно будет о чем-то говорить.

[dtn888]

Цитата:

Тогда давайте для начала хотя бы задачу поставим грамотно и полно:

Давайте

Цитата:

Так? Может еще что-то можем наблюдать, например, $x(t)$?

Можем наблюдать $\frac{dx}{dt}$, $x(t)$.

Цитата:

Всё или еще что-то, например ограничение на величину?

$u$ - непрерывно. Ограничения пока накладывать не нужно.

Цитата:

Цель управления

Обеспечить выполнение условия $y=y(0)e^{-\beta t}$ на интервале: $t= [0; \inf]$, где параметр $\beta$ задается произвольно.

Цитата:

Условие должно выполняться

Нужно выбрать самый простой и самый сложный способ. Я не ошибусь, если выберу "точно" и "как можно точнее в смысле минимума функционала"? Как вот задать функционал...Наверное, $J=$\int_{0}^{\inf} (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ $

Цитата:

Дополнительные ограничения и требования

Не знаю, как грамотно сформулировать. Очевидно, система должна быть устойчива. Но надеюсь, что предыдущие пункты всё прояснили.

[kotenok gav]

(Формулы)

dtn888 в сообщении #1504517 писал(а):

$J=$\int_{0}^{\inf} (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ $

$J=\int\limits_0^\infty (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ выглядит намного красивее, не находите? Тем более, что ваша формула ломается при цитировании из-за лишних долларов.

И пишите цитаты через кнопку "Вставка" или "Цитата".

[dtn888]

kotenok gav в сообщении #1504521 писал(а):

И пишите цитаты через кнопку "Вставка" или "Цитата".

Благодарю!

[VPro]

Ваша постановка допускает точное решение (для простоты рассматриваем одномерный случай): $u(t,x) =g(x_0)e^{-\beta t}-g(x)$. Чем конкретно оно Вас не устраивает?