2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 09:16 


12/09/20
22
Тогда, как его можно выполнить?

-- 18.01.2021, 11:16 --

Mathematica под рукой. Можно попробовать посчитать/повычислять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 09:41 
Аватара пользователя


26/05/12
1228
приходит весна?
dtn888, вам ничего делать не надо. Вблизи своего экстремума целевая функция $F(x)$ имеет вид: $$F(x)\simeq \frac{\beta}{2}(x-x^*)^2$$ для некоторого $\beta\ge0$. При подстановке в уравнение это как раз даст экспоненциальную сходимость, если $\beta>0$.

Первая проблема, которая может возникнуть, — это наличие у целевой функции пологих областей с нулевой производной, которые не являются минимумами. При неудачном выборе начального условия система будет принимать такие точки за минимумы и экспоненциально к ним стремиться. Вторая проблема возникает при $\beta=0$, то есть когда целевая функция в минимуме является слишком "плоской". В таком случае не будет экспоненциальной сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 11:05 


12/09/20
22
Цитата:
Вблизи своего экстремума


А в далеке? :? (вопрос риторический)

Цитата:
целевая функция $F(x)$ имеет вид


Да, это так.

Цитата:
Первая проблема, которая может возникнуть, — это наличие у целевой функции пологих областей с нулевой производной, которые не являются минимумами. При неудачном выборе начального условия система будет принимать такие точки за минимумы и экспоненциально к ним стремиться. Вторая проблема возникает при $\beta=0$, то есть когда целевая функция в минимуме является слишком "плоской". В таком случае не будет экспоненциальной сходимости.


Всё верно. Задача в этом и состоит - из любой точки сделать переход в экстремум экспоненциальным с заданной постоянной времени. Даже если начальная точка находится далеко от экстремума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 12:15 
Аватара пользователя


26/05/12
1228
приходит весна?
Ну, можно взять, например, очевидную систему $$\frac{dx}{dt}=\beta\operatorname{sgn}\left(\frac{dF}{dx}\right)$$ Тогда точка придёт в минимум за конечное (!!!) время с заданной скоростью. Круче будет уже некуда. Проблемы с точками, в которых функция монотонна, но горизонтальна, правда, останутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 14:47 


12/09/20
22
Цитата:
Ну, можно взять, например, очевидную систему


Не самый хороший вариант... Объясню, почему.

В будущем планируется экспериментировать с реальными системами, а значит понадобится способ или устройство измерения градиента. Мне известны два основных (всё остальное их вариации):

1. Введение поискового сигнала в управляемый параметр (например синус) и оценка градиента разложением экстремальной функции в ряд Тейлора.

Недостаток: ввиду наличия гармонического поискового сигнала, знак градиента $sgn(\frac{dF}{dx})$ также будет знакопеременным, что создаст в сигнале ненужные колебательные составляющие сложной формы.

2. Модификация дифференцирующего фильтра.

Недостаток: 3-4, если не ошибаюсь, настраиваемых параметра, которые, к тому же, имеют сложную взаимосвязь друг с другом. Тяжело настраивать.

В 1-м случае - качество переходных процессов оставляет желать лучшего, во 2-м - та проблема, с которой я в этой теме борюсь.

-- 18.01.2021, 16:49 --

Это уже уход в сторону, не имеющий особого отношения к делу. Я не специалист в диффурах, но мне кажется ,что может помочь либо принцип максимума Понтрягина, либо "PDE (Partial Differential Equation) Control", либо метод локализации:

[url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_локализации[/url]

-- 18.01.2021, 17:03 --

Так что, самый лучший вариант: адаптивные системы, входной управляющий сигнал или введение вспомогательной переменной, т.е модификация исходного ДУ. Проблема выбрать нужный критерий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение08.02.2021, 07:59 


12/09/20
22
Пробую поставить задачу по другому.

Есть следующая нелинейная система:

$x'= f(x)+u , y=f(x)$

где $f(x)$ - градиент некоторой одноэкстремальной функции (например $f =e^{-(x)^2}$), т.е. $\frac{df}{dx}$.

Задача:
Я хочу построить непрерывный управляющий сигнал $u$, обеспечивающий выполнение следующего условия:

$y(t)=y(0)e^{-\beta t}, \beta>0$

Какой метод использовать для решения: адаптивное управление с эталонной моделью, асимптотическое отслеживание выхода, стабилизация, линеаризация обратной связью или что-то еще?

Я не специалист по нелинейной теории управления, поэтому мне понадобится помощью специалистов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение08.02.2021, 18:28 


16/02/10
258
Из вашей постановки сразу следует решение: $u(y,t)=y(0)e^{-\beta t}-y$. Почему-то мне кажется, что оно Вас не устроит.
Тогда давайте для начала хотя бы задачу поставим грамотно и полно:
Имеется система:
$\frac{dx}{dt}=g(x)+u,\  x(0)=x_0,\  x\in R^n,\ g(x)=\frac{df(x)}{dx}$
Мы наблюдаем вектор $y(t)=g(x(t)) $ (Так? Может еще что-то можем наблюдать, например, $x(t)$?)
Ограничения на управление: $u -$ непрерывно. (Всё или еще что-то, например ограничение на величину?)
Цель управления: Обеспечить выполнение условия $y=y(0)e^{-\beta t}$ на интервале: (?), где параметр $\beta$ задается(?), определяется из (?)
Условие должно выполняться точно(?), приближенно(?), как можно точнее в смысле минимума функционала (?).
Дополнительные ограничения и требования: (?) (например,устойчивость решения)

Вот когда Вы ответите на все вопросы, тогда можно будет о чем-то говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 07:26 


12/09/20
22
Цитата:
Тогда давайте для начала хотя бы задачу поставим грамотно и полно:

Давайте :wink:
Цитата:
Так? Может еще что-то можем наблюдать, например, $x(t)$?

Можем наблюдать $\frac{dx}{dt}$, $x(t)$.
Цитата:
Всё или еще что-то, например ограничение на величину?

$u$ - непрерывно. Ограничения пока накладывать не нужно.
Цитата:
Цель управления

Обеспечить выполнение условия $y=y(0)e^{-\beta t}$ на интервале: $t= [0; \inf]$, где параметр $\beta$ задается произвольно.
Цитата:
Условие должно выполняться

Нужно выбрать самый простой и самый сложный способ. Я не ошибусь, если выберу "точно" и "как можно точнее в смысле минимума функционала"? Как вот задать функционал...Наверное, $J=$\int_{0}^{\inf} (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ $
Цитата:
Дополнительные ограничения и требования

Не знаю, как грамотно сформулировать. Очевидно, система должна быть устойчива. Но надеюсь, что предыдущие пункты всё прояснили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 08:38 


21/05/16
3761
Аделаида

(Формулы)

dtn888 в сообщении #1504517 писал(а):
$J=$\int_{0}^{\inf} (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ $

$J=\int\limits_0^\infty (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ выглядит намного красивее, не находите? Тем более, что ваша формула ломается при цитировании из-за лишних долларов.

И пишите цитаты через кнопку "Вставка" или "Цитата".

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 08:43 


12/09/20
22
kotenok gav в сообщении #1504521 писал(а):
И пишите цитаты через кнопку "Вставка" или "Цитата".


Благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 21:38 


16/02/10
258
Ваша постановка допускает точное решение (для простоты рассматриваем одномерный случай): $u(t,x) =g(x_0)e^{-\beta t}-g(x)$. Чем конкретно оно Вас не устраивает?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group