2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 09:16 


12/09/20
36
Тогда, как его можно выполнить?

-- 18.01.2021, 11:16 --

Mathematica под рукой. Можно попробовать посчитать/повычислять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 09:41 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
dtn888, вам ничего делать не надо. Вблизи своего экстремума целевая функция $F(x)$ имеет вид: $$F(x)\simeq \frac{\beta}{2}(x-x^*)^2$$ для некоторого $\beta\ge0$. При подстановке в уравнение это как раз даст экспоненциальную сходимость, если $\beta>0$.

Первая проблема, которая может возникнуть, — это наличие у целевой функции пологих областей с нулевой производной, которые не являются минимумами. При неудачном выборе начального условия система будет принимать такие точки за минимумы и экспоненциально к ним стремиться. Вторая проблема возникает при $\beta=0$, то есть когда целевая функция в минимуме является слишком "плоской". В таком случае не будет экспоненциальной сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 11:05 


12/09/20
36
Цитата:
Вблизи своего экстремума


А в далеке? :? (вопрос риторический)

Цитата:
целевая функция $F(x)$ имеет вид


Да, это так.

Цитата:
Первая проблема, которая может возникнуть, — это наличие у целевой функции пологих областей с нулевой производной, которые не являются минимумами. При неудачном выборе начального условия система будет принимать такие точки за минимумы и экспоненциально к ним стремиться. Вторая проблема возникает при $\beta=0$, то есть когда целевая функция в минимуме является слишком "плоской". В таком случае не будет экспоненциальной сходимости.


Всё верно. Задача в этом и состоит - из любой точки сделать переход в экстремум экспоненциальным с заданной постоянной времени. Даже если начальная точка находится далеко от экстремума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 12:15 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
Ну, можно взять, например, очевидную систему $$\frac{dx}{dt}=\beta\operatorname{sgn}\left(\frac{dF}{dx}\right)$$ Тогда точка придёт в минимум за конечное (!!!) время с заданной скоростью. Круче будет уже некуда. Проблемы с точками, в которых функция монотонна, но горизонтальна, правда, останутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение18.01.2021, 14:47 


12/09/20
36
Цитата:
Ну, можно взять, например, очевидную систему


Не самый хороший вариант... Объясню, почему.

В будущем планируется экспериментировать с реальными системами, а значит понадобится способ или устройство измерения градиента. Мне известны два основных (всё остальное их вариации):

1. Введение поискового сигнала в управляемый параметр (например синус) и оценка градиента разложением экстремальной функции в ряд Тейлора.

Недостаток: ввиду наличия гармонического поискового сигнала, знак градиента $sgn(\frac{dF}{dx})$ также будет знакопеременным, что создаст в сигнале ненужные колебательные составляющие сложной формы.

2. Модификация дифференцирующего фильтра.

Недостаток: 3-4, если не ошибаюсь, настраиваемых параметра, которые, к тому же, имеют сложную взаимосвязь друг с другом. Тяжело настраивать.

В 1-м случае - качество переходных процессов оставляет желать лучшего, во 2-м - та проблема, с которой я в этой теме борюсь.

-- 18.01.2021, 16:49 --

Это уже уход в сторону, не имеющий особого отношения к делу. Я не специалист в диффурах, но мне кажется ,что может помочь либо принцип максимума Понтрягина, либо "PDE (Partial Differential Equation) Control", либо метод локализации:

[url]https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_локализации[/url]

-- 18.01.2021, 17:03 --

Так что, самый лучший вариант: адаптивные системы, входной управляющий сигнал или введение вспомогательной переменной, т.е модификация исходного ДУ. Проблема выбрать нужный критерий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение08.02.2021, 07:59 


12/09/20
36
Пробую поставить задачу по другому.

Есть следующая нелинейная система:

$x'= f(x)+u , y=f(x)$

где $f(x)$ - градиент некоторой одноэкстремальной функции (например $f =e^{-(x)^2}$), т.е. $\frac{df}{dx}$.

Задача:
Я хочу построить непрерывный управляющий сигнал $u$, обеспечивающий выполнение следующего условия:

$y(t)=y(0)e^{-\beta t}, \beta>0$

Какой метод использовать для решения: адаптивное управление с эталонной моделью, асимптотическое отслеживание выхода, стабилизация, линеаризация обратной связью или что-то еще?

Я не специалист по нелинейной теории управления, поэтому мне понадобится помощью специалистов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение08.02.2021, 18:28 


16/02/10
258
Из вашей постановки сразу следует решение: $u(y,t)=y(0)e^{-\beta t}-y$. Почему-то мне кажется, что оно Вас не устроит.
Тогда давайте для начала хотя бы задачу поставим грамотно и полно:
Имеется система:
$\frac{dx}{dt}=g(x)+u,\  x(0)=x_0,\  x\in R^n,\ g(x)=\frac{df(x)}{dx}$
Мы наблюдаем вектор $y(t)=g(x(t)) $ (Так? Может еще что-то можем наблюдать, например, $x(t)$?)
Ограничения на управление: $u -$ непрерывно. (Всё или еще что-то, например ограничение на величину?)
Цель управления: Обеспечить выполнение условия $y=y(0)e^{-\beta t}$ на интервале: (?), где параметр $\beta$ задается(?), определяется из (?)
Условие должно выполняться точно(?), приближенно(?), как можно точнее в смысле минимума функционала (?).
Дополнительные ограничения и требования: (?) (например,устойчивость решения)

Вот когда Вы ответите на все вопросы, тогда можно будет о чем-то говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 07:26 


12/09/20
36
Цитата:
Тогда давайте для начала хотя бы задачу поставим грамотно и полно:

Давайте :wink:
Цитата:
Так? Может еще что-то можем наблюдать, например, $x(t)$?

Можем наблюдать $\frac{dx}{dt}$, $x(t)$.
Цитата:
Всё или еще что-то, например ограничение на величину?

$u$ - непрерывно. Ограничения пока накладывать не нужно.
Цитата:
Цель управления

Обеспечить выполнение условия $y=y(0)e^{-\beta t}$ на интервале: $t= [0; \inf]$, где параметр $\beta$ задается произвольно.
Цитата:
Условие должно выполняться

Нужно выбрать самый простой и самый сложный способ. Я не ошибусь, если выберу "точно" и "как можно точнее в смысле минимума функционала"? Как вот задать функционал...Наверное, $J=$\int_{0}^{\inf} (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ $
Цитата:
Дополнительные ограничения и требования

Не знаю, как грамотно сформулировать. Очевидно, система должна быть устойчива. Но надеюсь, что предыдущие пункты всё прояснили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 08:38 


21/05/16
4292
Аделаида

(Формулы)

dtn888 в сообщении #1504517 писал(а):
$J=$\int_{0}^{\inf} (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ $

$J=\int\limits_0^\infty (y(0)e^{-\beta t} - y) \,dy$ выглядит намного красивее, не находите? Тем более, что ваша формула ломается при цитировании из-за лишних долларов.

И пишите цитаты через кнопку "Вставка" или "Цитата".

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 08:43 


12/09/20
36
kotenok gav в сообщении #1504521 писал(а):
И пишите цитаты через кнопку "Вставка" или "Цитата".


Благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа
Сообщение09.02.2021, 21:38 


16/02/10
258
Ваша постановка допускает точное решение (для простоты рассматриваем одномерный случай): $u(t,x) =g(x_0)e^{-\beta t}-g(x)$. Чем конкретно оно Вас не устраивает?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group