Пришла пора представиться

[vpb]

(Как я изучал теорию множеств, окончание).

Прежде всего, теория вполне упорядоченных множеств --- вещь простая. Приведем пример утверждения оттуда, с доказательством.

Утверждение. Пусть $(A,<)$ --- вполне упорядоченное множество, и $f$ --- изоморфизм $A$ на свой начальный отрезок (т.е. $f\colon A\longrightarrow A$ --- инъективное отображение $A$ в себя, его образ $f(A)$ --- начальный отрезок в $A$, и $f(a)<f(b)$ тогда и только тогда, когда $a<b$). Тогда $f=\operatorname{id}_A$ --- тождественное отображение $A$ на себя.

Доказательство. Пусть $a_1$ --- первый элемент из $A$. Рассмотрим элемент $b=f(a_1)$. Заметим, что любой элемент $x\ne a_1$ больше $a_1$, поэтому его образ больше $b$. Поэтому, если $b\ne a_1$, то в $A$ нет элемента, который бы отображался на $a_1$. Это противоречит предположению, что $f(A)$ --- начальный отрезок в $A$. Значит, $f(a_1)=a_1$.

Пусть $a_2$ --- следующий элемент, $c=f(a_2)$ --- его образ. Если $c<a_2$, то $c=a_1$, противоречит инъективности $f$. Если $c>a_2$, то любой элемент $x\geq a_2$ отображается на элемент, который $\geq c$. Поэтому на $a_2$ ничего не отображается. Это противоречит тому, что $f(A)$ --- начальный отрезок в $A$, содержащий $c$. Значит, $f(a_2)=a_2$. И вообще всегда $f(a_n)=a_n$, где $a_n$ --- $n$-й по порядку элемент в $A$. (Множество $A считаем бесконечным. Поскольку для конечных множеств нужное утверждение очевидно.)

Теперь пусть $b$ --- элемент, следующий за всеми $a_1,a_2,\ldots$. Тогда аналогичным рассуждением легко доказать, что $f(b)=b$ (Если $f(b)<b$, то $f(b)$ --- один из $a_i$. Если же $f(b)>b$, то на $b$ ничего не отображается). И следующий за ним тоже отображается на себя, и т.д.

Наконец, рассмотрим общую ситуацию. Рассмотрим множество $Y$ всех элементов $y\in A$ со следующим свойством: "любой элемент $x\leq y$ отображается на себя". Довольно ясно, что $Y$ --- начальный отрезок в $A$. А теперь расссуждение, вполне аналогичное приведенному выше, показывает, что первый элемент $A$, не лежащий в $Y$, опять-таки должен отображаться на себя, и тем самым лежит в $Y$. Противоречие. Значит, на самом деле $Y$ совпадает с $A$.
$\square$

Вот. И другие утверждения в этой теории тоже несложны. Разве что некоторые конструкции немного более многоэтажны. Я осваивал это "по способу листочков". Т.е. прочитаю утверждение, осознаю, что оно значит, закрываю книжку, пытаюсь сам доказать. (Между делом, кстати, занимаясь чем-нибудь хозяйственным, типа посуду помыть и т.д.). Не получается --- открываю вновь, смотрю в доказательство бегло, пытаюсь очень приблизительно оттуда что-то схватить. Закрываю, опять обдумываю. И т.д. Иной раз совсем не идет, приходится внимательно смотреть дословно, что написано, и думать не отходя от текста.

Тут главное --- всякий матлогический формализм, аксиоматичность и т.д. оставить за бортом. (В Яковлеве объясняются аксиомы теории множеств, для полноты, но довольно неформально и без злоупотребления.) Я вот видел тут на форуме термин "аксиома фундирования", но что это такое не знаю и совершенно не интересно. То же про всякие "аксиому пары" и т.д. Рассуждаем на основе обычного здравого смысла. И уж ясно, что всякое "построение теории натуральных чисел на основе теории множеств" к черту. Теория множеств --- она для того, чтобы 1) иметь удобный язык, и 2) насчет бесконечных множеств было меньше туману. А вовсе не для того, чтоб высасывать себе головоломки из пальца на пустом месте.

В обязательном курсе нетривиальные теоретико-множественные рассуждения (конкретно, лемма Цорна) встречаются ровно в двух местах: (а) в доказательстве, что любое векторное пространство имеет базис (скажем, ${\mathbb R}$ как пространство над ${\mathbb Q}$), если уж не согласны это принять на веру, и (б) в теореме Хана-Банаха. И всё. Еще иногда в более специальных вопросах, в спецкурсах, в алгебре, топологии или матлогике, попадается (как правило,
опять-таки в виде леммы Цорна). Так что, я уверен, для Вас сейчас это не актуально.

-- 07.02.2021, 15:59 --

Sinoid в сообщении #1504322 писал(а):

Именно поэтому я и хочу для начала знакомства с теорией множеств осилить книгу, которая еще не университетская, но уже далеко не школьная, прям, ни разу не школьная!

Всё наоборот. То, что написано в Верещагине-Шене, не входит в университетскую программу. С другой стороны, эта книга имеет отрицательные черты "матшкольности" (главная из которых ---- мало объяснений; объяснения заменяются определениями и задачами. Если задача нейдёт, а спросить не у кого, то всё, тупик. Недостаточная последовательность изложения (оффтопность местами) Обучение по листочкам --- неплохо, когда есть у кого спросить или просто есть хороший учебник в классическом смысле).

[пианист]

(Оффтоп)

В свое время на меня неизгладимое впечатление произвело доказательство факта (и сам факт), что из аксиомы выбора следует возможность полного упорядочения любого множества, прочтенное в книжечке Куроша. Почему именно это, правда, за давностью уже не вспомнить ;)

[vpb]

пианист
Ну и дали бы ссылку, к чему стесняться ? Я, если что, не знаю, о какой книжке речь идет.

[пианист]

Лекции по общей алгебре.
Глава первая, параграф шестой.

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1504387 писал(а):

к чему стесняться ?

Цитата:

Будучи не в состоянии определить, касается это только лично меня или представляет также интерес для дела, выделяю отчет о происшедшем в отдельный рапорт-доклад №048/99

[vpb]

(Оффтоп)

пианист
Спасибо. Удивительно, ведь я её читывал (правда, я тогда был еще весьма мал), но ничего не помню. Видно, не в коня корм пошел.

[Sinoid]

Anton_Peplov в сообщении #1504285 писал(а):

Основы теории множеств в объёме, достаточном для фундамента, изложены в первой главе учебника Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа

Я в свое время попробовал это задачник. Ну, уж очень тяжело дались несколько получившихся первых задач, насколько я помню. С такими затратами смысла нет продолжать. Разве, что попозже. Воспоминания о нем как о тяжелом задачнике.

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1504398 писал(а):

Я в свое время попробовал это задачник.

Это не задачник. Вы, очевидно, с чем-то путаете.

[Sinoid]

Anton_Peplov в сообщении #1504289 писал(а):

Первый том Верещагина и Шеня как раз глубже первой главы Колмогорова и Фомина (что можно понять хотя бы по объёму). Впрочем, не намного, так что проработать этот первый том - приемлемое решение.

Видите, еще в чем дело? Дело в том, что я (со значимой поддержкой одного человека) уже осилил первую главу первого тома Верещагина, Шена осталось только прорещать задачи, так что бросать уже нажитое с приличным усилием и начинать все сначала очень бы не хотелось: с другой книгой будут точно такие же заморочки и их будет нисколько не меньше.

-- 07.02.2021, 21:09 --

Anton_Peplov в сообщении #1504399 писал(а):

Sinoid в сообщении #1504398 писал(а):

Я в свое время попробовал это задачник.

Это не задачник. Вы, очевидно, с чем-то путаете.

Да, точно. Я имел ввиду вот это:

vpb в сообщении #1504291 писал(а):

И еще рекомендуется прорешать первые три главы из Очан, Сборник задач по теории функций действительного переменного.

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1504403 писал(а):

бросать уже нажитое с приличным усилием и начинать все сначала очень бы не хотелось

А что значит "бросать нажитое"? Ваши знания, почерпнутые из первой главы В. & Ш., куда-то испарятся, если Вы приметесь за другую книгу?

Sinoid в сообщении #1504403 писал(а):

с другой книгой будут точно такие же заморочки и их будет нисколько не меньше

Это ошибочное суждение. Книги, бывает, очень различаются по количеству сопутствующих заморочек.

[Sinoid]

Anton_Peplov в сообщении #1504405 писал(а):

Книги, бывает, очень различаются по количеству сопутствующих заморочек.

Бывает, но, например, среди книг по матлогике я не встретил ни одной, пригодной для самостоятельного ее изучения. С кем-нибудь уже посвященным во все это - относительно легко. Одному - никогда! Нет, вы, конечно, научитесь сами составлять таблицы истинности, преобразовывать логические выражения, приводить к СДНФ и СКНФ и прочему детскому саду, но, например, прочитать книгу, где доказывается Теорема Гёделя о неполноте, вы не сможете НИКОГДА из-за имеющихся там недоговорок и ошибок/опечаток в доказательствах.

-- 08.02.2021, 00:51 --

vpb в сообщении #1504381 писал(а):

Если задача нейдёт, а спросить не у кого, то всё, тупик.

Точно так же, как и с другими книгами, не только задачниками.

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1504417 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1504405 писал(а):

Книги, бывает, очень различаются по количеству сопутствующих заморочек.

Но, например, прочитать книгу, где доказывается Теорема Гёделя о неполноте, вы не сможете НИКОГДА из-за имеющихся там недоговорок и ошибок/опечаток в доказательствах.

Я смог. Клини. Математическая логика.
Правда, до этого я прочел учебник по теории алгоритмов, что мне сильно помогло разобраться с теоремами Геделя.

-- 07.02.2021, 23:58 --

Sinoid в сообщении #1504417 писал(а):

vpb в сообщении #1504381 писал(а):

Если задача нейдёт, а спросить не у кого, то всё, тупик.

Точно так же, как и с другими книгами, не только задачниками.

Если вы не понимаете определение или теорему, можно посмотреть его/ее в другом учебнике. Учебников куча. А вот с задачами такой номер не пройдет.

[Odysseus]

Sinoid в сообщении #1504417 писал(а):

Бывает, но, например, среди книг по матлогике я не встретил ни одной, пригодной для самостоятельного ее изучения. С кем-нибудь уже посвященным во все это - относительно легко. Одному - никогда! Нет, вы, конечно, научитесь сами составлять таблицы истинности, преобразовывать логические выражения, приводить к СДНФ и СКНФ и прочему детскому саду, но, например, прочитать книгу, где доказывается Теорема Гёделя о неполноте, вы не сможете НИКОГДА из-за имеющихся там недоговорок и ошибок/опечаток в доказательствах.

Не обсуждая верно или нет, что во всех книгах по матлогике есть ошибки/опечатки в доказательстве теоремы Гёделя, я только еще раз обращу ваше внимание, что вам как раз и советуют не тратить сейчас слишком много времени и усилий на матлогику. Даже если вам матлогика очень интересна, ее глубокое изучение (аналогично, например, как и углубленное изучение теории множеств и теории категорий) гораздо проще у вас пойдет после того как вы дальше продвинутесь в изучении и привыкании к математике в целом.

Для большинства из разделов/теорем в математике вам будет достаточно самых элементарных сведений по матлогике (как и по теории множеств), которые есть в том же Калужнине, рекомендованном несколько раз выше (в отношении теории множеств рекомендую также посмотреть то, что я перечислял выше, после Верещагина-Шеня много времени соответствующие главы в тех книгах у вас не должны занять, но некоторые вещи вы при этом можете понять лучше).

И вообще, какие разделы математики вам больше всего интересны сейчас и в долгосрочной перспективе? Что вы хотели бы изучить наиболее глубоко? Где, как и для чего хотели бы их применять (если хотите применять их вне чистой математики, например в computer science, физике, биологии...)?

[Sinoid]

Anton_Peplov в сообщении #1504418 писал(а):

Если вы не понимаете определение или теорему, можно посмотреть его/ее в другом учебнике.

Формулировку - бесспорно, но не доказательство! Ибо к доказательству той же теоремы в другом месте я окажусь просто неготов, банально потому, что там построение совершенно другое!

Ну, что вы мне говорите? Я же это все знаю!

-- 08.02.2021, 01:47 --

Odysseus в сообщении #1504420 писал(а):

вам как раз и советуют не тратить сейчас слишком много времени и усилий на матлогику.

Так я и не собираюсь сейчас упираться в матлогику! У меня еще столько непаханного! Я с помощью прочитал одну не очень простую книгу по логике. Где, кстати, доказывается теорема Гёделя. Все! Логика не входит в мои ближайшие планы! Теперь велком ту множества!

-- 08.02.2021, 01:58 --

Odysseus в сообщении #1504420 писал(а):

И вообще, какие разделы математики вам больше всего интересны сейчас и в долгосрочной перспективе?

Да, не знаю я. Интересно все. Сейчас бы одолеть минимум университетского курса. Ну, там, плюс-минус.

-- 08.02.2021, 02:05 --

Odysseus в сообщении #1504420 писал(а):

Не обсуждая верно или нет, что во всех книгах по матлогике есть ошибки/опечатки в доказательстве теоремы Гёделя,

Я не имел ввиду именно доказательство теоремы Гёделя. Я хотел сказать, что, например, до доказательства этой теоремы вы не дочитаете (самостоятельно и с, так скажем, нуля) по указанной мной причине.

[Mihaylo]

Что на счет видеолекций? Надо иногда "живого" преподавателя видеть.

[Sender]

Sinoid в сообщении #1504421 писал(а):

Да, не знаю я. Интересно все. Сейчас бы одолеть минимум университетского курса. Ну, там, плюс-минус.

Кстати, не думаю, что знание доказательства теоремы Гёделя способно как-то помочь в этом. Это всё-таки, как ни крути, специализированная тема, заниматься которой, не зная более базовых вещей, на мой взгляд, не имеет большого смысла.