Пришла пора представиться

[Andrey A]

arseniiv в сообщении #1504269 писал(а):

Возможно, тут должна помогать какая-то доля лени вдаваться сразу во все подробности читаемого до того как...

Вот соглашусь. Но этого мало. Чтобы достичь чего-то самостоятельно, должно быть 1) Интересно. Оно же второе и третье. Бывает, с возрастом просыпается интерес к вещам доселе безразличным. Очень полезно экспериментировать с числами, выдвигать гипотезы, делать открытия, чтобы находить их потом в литературе сформулированными за 200 лет до тебя. Я в свое время вычислил так сумму делителей натурального числа $\sigma (m)$ и нашел ее после кажется у Виноградова. Сразу узнал. Не забывается. Потом еще вычислил сумму $\sum\limits_{i=1}^{m}\sigma(i)=\left \lceil \frac{1+m-t_1}{1}\right \rceil^2-\left \lceil \frac{1+m-t_2}{2}\right \rceil^2+\left \lceil \frac{1+m-t_3}{3}\right \rceil^2-...\pm \left \lceil \frac{1+m-t_n}{n}\right \rceil^2,$ где $n=\left \lfloor \frac{\sqrt{8m+1}-1}{2}\right \rfloor,t_n=\frac{n(n+1)}{2}$, и нигде уже не нашел. Так и валяется.
В любом случае самый ненужный вопрос — над чем работаем?

[Sender]

Anton_Peplov в сообщении #1504275 писал(а):

Почему не надо до освоения классической триады хвататься за математическую логику, теорию множеств, общую топологию и т.д.

Всё-таки без базовых представлений о логике и теории множеств в математике невозможно никуда двигаться. Пусть это будет хотя бы наивная теория множеств и основы исчисления высказываний. Хотя бы чтобы понимать, чем обратная теорема отличается от противоположной, откуда берутся доказательства от противного и что это за кванторы такие, которыми всё напропалую утыкано.

[Anton_Peplov]

Sender в сообщении #1504278 писал(а):

Всё-таки без базовых представлений о логике и теории множеств в математике невозможно никуда двигаться. Пусть это будет хотя бы наивная теория множеств и основы исчисления высказываний.

Из теории множеств нужно понимать, что такое объединение, пересечение и разность множеств. Это всё. Уже мощность множества - излишнее понятие на этом этапе (хотя обычно его всё-таки дают в курсе математического анализа).

Из логики нужно:
1) понимать операции "и", "или", "не"
2) понимать, что такое "необходимо", "достаточно", "необходимо и достаточно", как они связаны между собой.
3) различать "для всех $x$ верно, что" и "существует $x$, для которого верно, что", и знать, как выглядят отрицания этих высказываний.

Первые два пункта покрываются исчислением высказываний. Но уже со вторым я бы не рекомендовал знакомиться именно через формальные операции импликации и равносильности. Если у человека нет в голове понимания, что это означает на естественном языке, то таблицы истинности его скорее запутают, чем что-нибудь объяснят (вспомните, сколько копий сломано на тему импликации из ложного высказывания).
Третий пункт вообще не покрываются исчислением высказываний. Он формализуется только исчислением предикатов. И опять-таки, если к тому моменту в голове нет понимания на конкретных примерах, то эта формализация будет выглядеть как жонглирование символами по бессмысленным правилам.

Как приобрести в голову пункты 1-3, если их там нет? Имхо лучший вариант - это логические задачи на простейших бытовых примерах. Типа такой: А = на небе облака, В = идёт дождь. Необходимо ли 1) А для В 2)В для А? Достаточно ли 1)А для В, 2)В для А?
Где взять такие задачи в количестве, достаточном для формирования навыка, я не знаю. Но наверняка они где-то есть.

[Sinoid]

Anton_Peplov, знаете, почти все, что вы рекомендовали, я знал приблизительно к своим 22 годам. Это еще с учетом периодических перебоев с учебниками. Например, вышку я освоил в конце 10-го класса. По учебнику Гусака. Но при обучении по этой книге проблема была в том, что там в ответах много опечаток. Это сущая правда, поверьте. Так что, по-настоящему убедиться, что я ее уже, так сказать, знаю, мне удалось после 20 лет, когда мне удалось с большим трудом достать задачник Бермана. Там я решал все подряд, прорешал все по производным и интегралам при отсутствии другого материала. Почти все решил по диффурам. Про школьный курс математики и ангеом нужно рассказывать? Чуть позже разжился задачником по высшей алгебре Фаддеева, Сомнинского. А учебник по высшей алгебре был только 1 - Куроша. С этим учебником очень ко многим задачам оттуда просто не подступишься, но все равно линейную алгебру я тогда освоил процентов на 75. Нет, сейчас мне вот именно не хватает фундамента "взрослой математики" - теории множеств и теории групп. Я это отчетливо понимаю.

-- 06.02.2021, 18:41 --

Anton_Peplov в сообщении #1504281 писал(а):

Sender в сообщении #1504278

писал(а):
Всё-таки без базовых представлений о логике и теории множеств в математике невозможно никуда двигаться. Пусть это будет хотя бы наивная теория множеств и основы исчисления высказываний. Из теории множеств нужно понимать, что такое объединение, пересечение и разность множеств. Это всё. Уже мощность множества - излишнее понятие на этом этапе (хотя обычно его всё-таки дают в курсе математического анализа).

Из логики нужно:
1) понимать операции "и", "или", "не"
2) понимать, что такое "необходимо", "достаточно", "необходимо и достаточно", как они связаны между собой.
3) различать "для всех $x$ верно, что" и "существует $x$, для которого верно, что", и знать, как выглядят отрицания этих высказываний.

Для математика этого мало. Для программиста, физика - кого угодно, знакомым с матлогикой в рамках этих понятий, этого вполне достаточно, а в некоторых случаях даже избыточно, но не для математика! Математик, знакомый с матлогикой в рамках этих понятий, увы, просто безграмотен, невежа.

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1504282 писал(а):

Нет, сейчас мне вот именно не хватает фундамента "взрослой математики" - теории множеств и теории групп. Я это отчетливо понимаю.

Основы теории множеств в объёме, достаточном для фундамента, изложены в первой главе учебника Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Всё, что в теории множеств настроено сверх этого - это уже не фундамент для других областей математики, а отдельная и весьма обособленная ветвь. Изучать её нужно, только если она интересует Вас сама по себе.

Лучшее введение в теорию групп, которое я знаю, даётся в трёхтомнике Кострикин. Введение в алгебру (соответствующие главы т.1 и т.3). Но рассматривать теорию групп как "фундамент математики" тоже не очень оправданно. Она используется в нескольких областях математики, но, насколько я могу судить, далеко не в большинстве.

Вообще, поиск "фундамента взрослой математики", имхо, не очень осмысленное занятие. Раз Вы уже освоили азы, берите любую нравящуюся область математики и изучайте. Хоть теорию множеств, хоть дифференциальные уравнения, хоть чёрта с рогами. Если наткнётесь на то, что там используются неизвестные Вам разделы, вот тогда их и изучайте.

-- 06.02.2021, 18:00 --

Sinoid в сообщении #1504282 писал(а):

Математик, знакомый с матлогикой в рамках этих понятий, увы, просто безграмотен, невежа.

Давайте разделять понятия "это необходимо знать, потому что без этого ни в чём другом не разберёшься" и "это считается приличным знать, имея соответствующее образование".

Чтобы было понятнее, возьмём пример из истории. Чтобы разобраться в истории Древней Индии, на фиг не нужен Джон Кальвин (на самом деле Жан, меня поправили), потому что он был сильно позже и сильно не там. Другое дело, что стыдно называться историком и не знать, кто такой Кальвин, даже если вы специалист по Древней Индии.

Так вот: чтобы разобраться практически в любом разделе математики (исключая несколько специфических, тесно связанных с матлогикой), эта самая матлогика нужна примерно как кальвинизм индологу. Другое дело, что неприлично называть себя математиком и не знать, что такое предикат или формальная теория.

Но в таком случае вопрос:
а) собираетесь ли Вы когда-нибудь назвать себя математиком
б) понимаете ли Вы, что для этого придётся освоить всю обязательную программу мехмата
в) рассчитываете ли Вы, что у Вас хватит на это времени и сил

Самоучке, который хочет знать математику, просто потому что ему интересно, в условиях ограниченных ресурсов лучше изучать то, что интересно (если, конечно, ему хватает знаний и навыков на освоение этого интересного), а не то, что "прилично" знать. Не откладывайте десерт, при возможности начинайте с самого вкусного. Иначе как раз на него может не хватить времени и сил. Поверьте в этом другому самоучке (мне), который уже наступил на эти грабли.

[vpb]

Sinoid
На всякий случай, хочу задать вопрос. А возможность скачивать книжки с интернету у Вас есть ? (Думаю, конечно, да, но кое-что выше заставляет сомневаться. Так что на всякий случай спрашиваю).

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1504282 писал(а):

невежа

невежда

[Sinoid]

Anton_Peplov в сообщении #1504285 писал(а):

Основы теории множеств в объёме, достаточном для фундамента, изложены в первой главе учебника Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Всё, что в теории множеств настроено сверх этого - это уже не фундамент для других областей математики, а отдельная и весьма обособленная ветвь. Изучать её нужно, только если она интересует Вас сама по себе.

Да, я даже в такие глубины не хочу сейчас лезть. Мне бы Верещагина, Шена сейчас осилить, желательно с решением задач и все, пока хватит.

-- 06.02.2021, 19:10 --

vpb в сообщении #1504286 писал(а):

Sinoid
На всякий случай, хочу задать вопрос. А возможность скачивать книжки с интернету у Вас есть ? (Думаю, конечно, да, но кое-что выше заставляет сомневаться. Так что на всякий случай спрашиваю).

Да, у меня этих книг на компе як у дурня махорки, по всем известным мне разделам математики затарился, под 2000! Ну, и, самой собой, скачать еще - не вопрос.

[Anton_Peplov]

Sinoid в сообщении #1504288 писал(а):

Да, я даже в такие глубины не хочу сейчас лезть. Мне бы Верещагина, Шеня сейчас осилить, желательно с решением задач и все, пока хватит.

Первый том Верещагина и Шеня как раз глубже первой главы Колмогорова и Фомина (что можно понять хотя бы по объёму). Впрочем, не намного, так что проработать этот первый том - приемлемое решение.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1504288 писал(а):

Да, у меня этих книг на компе як у дурня махорки, по всем известным мне разделам математики затарился, под 2000! Ну, и, самой собой, скачать еще - не вопрос.

Это хорошо. При том, как Вы бодро начинали, я бы весьма советовал читать сейчас Кострикина. Только не зацикливайтесь на непонятном, если что (ибо там не всё удобопонимаемо).

Насчет простейших вещей из групп можно почитать ... чего бы такого ? Калужнин, Введение в общую алгебру (там же в первых двух главах элементы теории множеств и матлогики, в объеме, достаточном по уши, и притом очень понятно! а Верещагина фтопку. Эта книжка для спецматшкольников, непростая, а самое главное неполная, в которой объяснений не хватает), а еще раньше до того Фрид, Элементарное введение в абстрактную алгебру, но не всё подряд, а начало. И еще книжка для школьников, Виленкин, Рассказы о множествах.

-- 06.02.2021, 17:49 --

И еще рекомендуется прорешать первые три главы из Очан, Сборник задач по теории функций действительного переменного.

-- 06.02.2021, 17:50 --

( В этих трех главах речи про собственно функции действительного переменного не идет, если что. А если какие-то задачи оттуда для Вас окажутся слишком сложными, тоже не расстраивайтесь.)

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1504275 писал(а):

в) они начинают с самых наглядных вещей и постепенно приучают ко всё повышающемуся уровню абстракции.

Кстати а как насчёт областей, обычно объединяемых под названием «дискретная математика»? Всякие комбинаторики, вообще «теория конечных множеств», основы теории отношений (как правило только бинарных), основные свойства отображений вообще, всякое такое, иногда зачатки графов (у меня есть книжка, которая целую половину себя занимает графами, хотя называется учебником по дискретке). Не знаю, включают ли туда иногда разные конечные автоматы и языки, основы их тоже довольно наглядны.

-- Сб фев 06, 2021 22:57:02 --

Sender в сообщении #1504278 писал(а):

Всё-таки без базовых представлений о логике и теории множеств в математике невозможно никуда двигаться.

Проблема тут в том, что традиционно учебники матлогики и теории множеств не имеют целью рассказать именно это, они глубоко рассматривают свой предмет при условии, что базовая математическая грамотность уже есть. Кажется, учебник «основы математики», который вместо них тут нужен, ещё не написали. Возможно потому что ни в университетский курс, ни в школьный оно как-то не укладывается по разным причинам. Будем надеяться, что чудеса современной популяризации смогут надёжно закрыть этот пробел для тех, кому не везёт, а так его часто закрывает вводная глава в учебниках матанализа.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1504301 писал(а):

Кстати а как насчёт областей, обычно объединяемых под названием «дискретная математика»?

Плюсы: наглядность. Минусы: мало где потом пригодится. Не сравнить с алгеброй и анализом.

[vpb]

Насчет "Верещагина фтопку" --- это я погорячился.

Но

1) вторую главу из него Вам читать сейчас совершенно неактуально. Там излагаются специальные вещи об упорядоченных множествах. Они интересны разве что с точки зрения любопытства и общего мировоззрения (например, знать, что две мощности всегда между собой сравнимы), или это очень специальные факты, в математике возникающие лишь изредка (как писал один коллега на форуме, с леммой Цорна он сталкивался один раз в жизни, и больше её, слава богу, не видел). Да и не сдюжите Вы эту общую теорию скорее всего, потому что, чтобы её сдюжить, ум должен долго привыкать к абстракциям. И если Вы думаете, что уже привыкли к нужного уровня абстракциям из предшествующего опыта изучения математики --- скорее всего, ошибаетесь.

2) да и первая написана не лучшим образом. Слишком много задач не помогающих освоить теоретико-множественный язык, а больше олимпиадно -заковыристых.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1504304 писал(а):

Минусы: мало где потом пригодится.

Нуу, теоретическая CS это довольно большая область, нет? Хотя ТС этим как раз вроде был мало заинтересован. (А вот мои интересы чаще в том направлении, судя по всему. Даже штуки, вертящиеся вокруг одних только языков и конструкций программирования, многообразны.)

[vpb]

Замечание. Выше коллега писал про первый том Верещагина. Я сначала не понял, думал речь про первую главу. А оказывается, действительно книжка про основы теории множеств --- это первая часть трехтомного курса "Математическая логика и теория алгоритмов". Нет, прорабатывать весь этот первый том --- решение весьма неважное (особенно в Вашей ситуации).