Простые числа и палиндромы

[Dmitriy40]

Вот и нашлась наименьшая (если нигде не ошибся) 7-ка, примерно 8ч счёта:
n=7:71593223549+[0, 1, 3, 4, 6, 7, 9]

[kazvadim]

Dmitriy40 Спасибо! Грандиозно... Эта формула (коряво мной написанная) работает полностью - это нам пригодится в дальнейшем...

[Dmitriy40]

А вот и вторая известная и парная к первой:
n=7:119072758459+[0, 2, 3, 5, 6, 8, 9]

[kazvadim]

Постепенно приходим к выводу: математике палиндромов полезно развиваться. Более того, алгоритмические решения для простых чисел с помощью палиндромов надёжны.

[Someone]

(kazvadim)

kazvadim в сообщении #1503934 писал(а):

Более того, алгоритмические решения для простых чисел с помощью палиндромов надёжны.

В точности наоборот: алгоритмические решения для простых чисел надёжно работают при нахождении простых палиндромов.

Свойство простого числа быть палиндромом в десятичной системе счисления является случайной и чисто внешней особенностью, относящейся не к самому числу, а к его записи. Никаких глубоких свойств за этим, как будто, не стоит. Никаких особенных алгоритмов проверки простоты специально для палиндромов не найдено. Намеренно использовать простые палиндромы для криптографии явно не следует: палиндромов среди простых чисел гораздо меньше, чем всех простых чисел, что потенциально может облегчить взлом шифровки.

[kazvadim]

Someone
Согласен со всем что Вы написали. Мне надо было написать, что не для всех простых чисел, а только для заданного подкласса. По поводу взлома - это вообще вопрос пока не стоит. RSA, MD5 - даже пока не задумывался о связи с простыми палиндромами. Если только немножко предупредить, чтобы перестраховались в шифровании и были поосторожней с простыми палиндромами...

[kazvadim]

Dmitriy40
На основе доказанной Вами формулы $p[a] \overline p$, где $p$ -простое, $\overline p$ - это $p$ с цифрами наоборот, $[a]$ - вставка 0...9. Можно попробовать подойти к простым близнецам. Подключим комбинаторику (раньше об этом упоминал). Формула: $k[k[a]k]k$, где $k$ – комбинации $p$, $\overline p$ (среди которых простые близнецы). Не справляюсь с программированием, путаюсь в записях кодов – помогите, пожалуйста!

[Dmitriy40]

kazvadim
Если $p$ простое и $q=p+2$ тоже простое, то какой вариант из следующих вас интересует?
$p q A \overline q \overline p$
$q p A \overline p \overline q$
$\overline p \overline q A q p$
$\overline q \overline p A p q$

Впрочем несложно проверить и все 4 варианта, вот наименьшие решения для $n=1..5$ и $p>10$:
n=1:177303771+[2]
n=2:131101131+[1, 2]
n=3:312909213+[2, 7, 8]
n=4:1190055009090909005500911+[2, 4, 5, 8]
n=5:9401520588502510470740152058850251049+[1, 2, 4, 5, 8]
При желании близнецы разглядеть можно.

Программа:

MyF(r,k)=my(i,n); n=[]; for(i=0,9, if(ispseudoprime(r+i*100^k), n=concat(n,[i]))); if(#n>3, print("n=",#n,":",r,"+",n));
{for(k=2,6,
   q=0;
   forprime(p=10^(k-1),10^k,
      if(p-q==2,
         pp=fromdigits(Vecrev(digits(p))); qq=fromdigits(Vecrev(digits(q)));
         MyF(p*10^(3*k+1)+q*10^(2*k+1)+qq*10^k+pp, k);
         MyF(q*10^(3*k+1)+p*10^(2*k+1)+pp*10^k+qq, k);
         MyF(pp*10^(3*k+1)+q*10^(2*k+1)+qq*10^k+p, k);
         MyF(qq*10^(3*k+1)+p*10^(2*k+1)+pp*10^k+q, k);
      );
      q=p;
   );
)}

-- 05.02.2021, 09:55 --

Что интересно, ни в одном из 4-х вариантов не нашлось простых палиндромов с вставкой нуля. А значит и семёрки ($n=7$) не будет. Если ноль там почему-то запрещён, похоже такие палиндромы (во всех 4-х вариантах) делятся на 3.

[Dmitriy40]

Да, действительно, сумма цифр близнецов (кроме 3+5) делится на 3, а значит и все такие палиндромы (с вставкой 0,3,6,9) делятся на 3 и значит семёрок быть не может в принципе.

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1504138 писал(а):

Если $p$ простое и $q=p+2$ тоже простое, то какой вариант из следующих вас интересует?

Хотелось бы посмотреть все варианты. Из-за не коммутативности простых чисел одна формула не сработает.

Цитата:

При желании близнецы разглядеть можно.

Если удастся уложить (упорядочить и классифицировать) простые близнецы с помощью простых палиндромов, то это будет серьёзный плюс палиндромам.

[kazvadim]

я=рассеянный, - не сказал, что основные формулы для простых близнецов:
pA$\overline q$, qA$\overline p$
$\overline p$Aq, $\overline q$Ap
А комбинаторные формулы: $kkAkk$ – это для заполнения пропусков чисел (если получится).

[Dmitriy40]

kazvadim в сообщении #1504241 писал(а):

я=рассеянный, - не сказал, что основные формулы для простых близнецов:
pA$\overline q$, qA$\overline p$
$\overline p$Aq, $\overline q$Ap

Эти числа не являются палиндромами.
И записывайте формулы правильно, с одним $ в начале и в конце всей формулы, сейчас у вас часть символов оказалась снаружи формулы.

kazvadim в сообщении #1504241 писал(а):

для заполнения пропусков чисел

Опять 25, снова толкуете о чём-то своём неизвестном, ну что такое эти ваши "пропуски"?! Телепатия законодательно запрещена так что выражайтесь понятно другим.

kazvadim в сообщении #1504165 писал(а):

Если удастся уложить (упорядочить и классифицировать) простые близнецы с помощью простых палиндромов,

Совершенно очевидно что не удастся, простых близнецов тупо больше простых палиндромов. И выше вам об этом уже говорили, именно математики.
Да и вообще пока не видно никакой математики за этой кучей разнородных данных.

[kazvadim]

Dmitriy40 в сообщении #1504249 писал(а):

Да и вообще пока не видно никакой математики за этой кучей разнородных данных.

А мы всё же попробуем, куча - это лучше, чем отсутствие данных. Добавим - есть идеи, а потом перейдём к систематике.

[kazvadim]

Был задан вопрос о простых близнецах (теперь будем решать, не отцеплюсь).
$pA\overline p(..) qA\overline q, \overline p A p(..) qA\overline q$ и так далее по комбинаторике.
Обозначение (..) - это не умею правильно написать бинарную функцию выбора вариантов: И или ИЛИ, или И/ИЛИ.

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1504138 писал(а):

Впрочем несложно проверить и все 4 варианта, вот наименьшие решения для $n=1..5$ и $p>10$:

Что странно, для простых до 200млрд так и не найдено ни одной шестёрки ($n=6$). А среди 140 пятёрок ($n=5$) лишь три начинаются с 2, а не с 1. Интересно с чем связаны такие аномалии.