Дифференциальные формы

[Slav-27]

ErVynShred в сообщении #1502773 писал(а):

то есть дифференциал координат преобразуется также, как и ковариантный базисный вектор, а потому его можно представить как тот же базисный ковектор, я правильно понимаю?

Да, дифференциал гладкой функции есть дифференциальная 1-форма. Это верно для любой гладкой функции, не только для координаты.

ErVynShred в сообщении #1502773 писал(а):

всякий кососимметрический ковариантный тензор можно разложить по данному ковариантному базису: $T = T_{i^1, i^2, \dots i^j}dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^j}$, коэффициенты, стоящие перед базисными формами являются компонентами данного тензора, а как они действуют на вектор, или они являются просто гладкими функциями, которые зависят от именно координат точки многообразия?

Второй вариант.

ErVynShred в сообщении #1502903 писал(а):

если дифф. 1-форма интерпретируется как функционал, то как можно представить себе действие дифф. k-формы? Действует она на касательном пространстве, но куда отображает?

Дифференциальная $k$-форма берёт $k$ векторных полей и превращает их в гладкую функцию.

ErVynShred в сообщении #1502941 писал(а):

Нескромный вопрос, как перейти к выводу формулы для звезды Ходжа?

Если $V$ -- ориентированное евклидово пространство (то есть ориентированное вещественное векторное пространство с заданным на нём скалярным произведением), то звёздочку Ходжа можно определить так: выберем положительно ориентированный ортонормированный базис $e_1,...,e_d$, для последовательности индексов $I=(i_1,...,i_k)$ обозначим $e^I:=e^{i_1}\wedge...\wedge e^{i_k}$, тогда $\star e^I$ определяется как такая $e^{J}$, что $e^I\wedge e^{J}=e^1\wedge e^2\wedge...\wedge e^d$.

С одной стороны, несложно доказать, что это не зависит от выбора базиса: построенное таким образом отображение совпадает с композицией $\Lambda^k(V^*)\to\Lambda^kV\to(\Lambda^{d-k}V)^*\to\Lambda^{d-k}(V^*)$, где первое отображение индуцировано изоморфизмом $V^*\to V$, происходящим от скалярного произведения, второе переводит $\xi$ в линейный функционал $\eta\mapsto\mathrm{Vol}(\xi\wedge\eta)$, где $\mathrm{Vol}$ -- заданная скалярным произведением и ориентацией форма объёма, а третье очевидно какое.

С другой стороны, из этого несложно вывести формулу с символом Леви-Чивиты. Но она, IMHO, только мешает, я несколько раз в жизни пытался что-нибудь через неё посчитать, запутывался в куче индексов, свёрток, многоточий и индексов при индексах и в итоге переделывал без неё.

-- 28.01.2021, 19:27 --

Если не евклидово, а псевдоевклидово, то надо ещё добавить в определение знак; суть там в том, чтобы для любых $k$-форм $\alpha,\beta$ было $\alpha\wedge\star\beta=\langle\alpha,\beta\rangle \mathrm{Vol}$, где (для положительно ориентированного ортонормированного базиса) $\mathrm{Vol}=e^1\wedge...\wedge e^d$, $\langle e^I,e^I\rangle=\langle e^{i_1}, e^{i_1}\rangle...\langle e^{i_k}, e^{i_k}\rangle$, $\langle e^I,e^J\rangle=0$, если $I$ и $J$ не получаются друг из друга перестановкой.

[ErVynShred]

А есть ли какой-нибудь задачник по дифференциальной геометрии, даже по большому счёту, по тензорному анализу? И ещё вопрос, бывают ли, как это сформулировать, симметрические дифференциальные формы, т.е. не как в стандартном определении-кососимметрические тензорные поля?

[пианист]

ErVynShred в сообщении #1503207 писал(а):

есть ли какой-нибудь задачник по дифференциальной геометрии, даже по большому счёту, по тензорному анализу

Ну вот, например, есть лекции М.Г.Иванова, объяснения сопровождаются примерами и задачами. Насколько хорошие, не знаю.

ErVynShred в сообщении #1503207 писал(а):

бывают ли, как это сформулировать, симметрические дифференциальные формы

Метрика?

[VanD]

ErVynShred в сообщении #1503207 писал(а):

бывают ли, как это сформулировать, симметрические дифференциальные формы

Тензор на касательном пространстве в точке можно рассматривать как функцию. Можно говорить и о симметричных функциях при подходящем наборе аргументов (одной природы, чтобы их по смыслу переставлять можно было). Кососимметрические функции на векторном пространстве интересны хотя бы тем, что они представляют собой ориентированные объёмы/площади. Скажем, при действии линейного оператора на $\mathbb{R}^3$ изветно как преобразуются объёмы параллелепипедов. А как преобразуются площади параллелограммов, например? В процессе ответа на этот вопрос и можно изобрести внешние 2-формы на $\mathbb{R}^3$. В этом контексте может показаться довольно неожиданным то, что критерий Фробениуса интегрируемости распределения тоже формулируется в терминах внешних дифференциальных форм.

Ну и симметричные тензоры представляют интерес. Как сказано выше, то же скалярное произведение -- это симметричный тензор. При работе с символами линейных дифференциальных операторов, например, тоже возникают симметричные тензоры, очень естественно. Некоторые классические задачи дифференциального исчисления таким образом на их языке переформулируются.

Но в целом наверное кососимметричные тензоры интереснее (и внешние формы и мультивекторы -- полилинейные кососимметричные функции от ковекторных аргументов, в духе $\partial_x \wedge \partial_y$ и всего такого). По крайней мере в контексте интегрируемых систем.

[ErVynShred]

Можно ли, например, форму: $\omega = S_{i^1, i^2, i^3, i^4} dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge dx^{i^3} \wedge dx^{i^4}$ , представить в виде: $\omega_{i^1, i^2, i^3, i^4} = S_{i^1, i^2, i^3, i^4} \varepsilon_{i^1, i^2, i^3, i^4} g^{i^1, i^1} g^{i^2, i^2} g^{i^3, i^3} g^{i^4, i^4}$ ?
Либо же в таком виде: $\omega = S_{i^1, i^2, i^3, i^4} \varepsilon_{i^1, i^2, i^3, i^4}$, т.е. заменить $dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^k}$ на соответственно $\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^k} $

[Slav-27]

Это бессмысленная ерунда вроде бы.

Надо так: $\omega=\omega_{ijkl}dx^i\otimes dx^j\otimes dx^k\otimes dx^l=\sum\limits_{i<j<k<l}\omega_{ijkl}dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k\wedge dx^l$.

$\omega$ -- дифференциальная 4-форма, $dx^1\wedge dx^2\wedge dx^5\wedge dx^7$ -- тоже, $\omega_{1257}$ -- функция.
$\varepsilon_{2134}$ -- число $-1$.
$\varepsilon_{1257}$ -- общепринятого смысла не имеет.

[ErVynShred]

Видимо, я не очень хорошо понял обозначение: $\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^n} = \sqrt{\left\lvert g \right\rvert}dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^n}$ - форма объёма, ведь как я понял, здесь как раз именно $dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^n}$ на $\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^n}$, чтобы звездочку определить надо будет ещё индексы поднять у дифф.формы во втором случае( в случае $\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^n}$ ) и факториальный множитель добавить.

[Slav-27]

ErVynShred в сообщении #1503357 писал(а):

$\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^n} = \sqrt{\left\lvert g \right\rvert}dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge \dots \wedge dx^{i^n}$

Это равенство неверно и бессмысленно: слева функция, справа дифференциальная $n$-форма.

[ErVynShred]

Я нашёл этот пример в одном из учебников, только он выглядел так: начиная со слов "у нас есть единственный базисный тензор $dx^1 \wedge dx^2 \wedge \dots \wedge dx^n$ компоненты этого тензора в физической литературе принято обозначать $\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^n}$, тогда $T_{i^1, i^2, \dots , i^n} = T_{1, 2, \dots , n}\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^n}$ есть ли различие между $dx^1 \wedge dx^2$ и $dx^{i^1} \wedge dx^{i^2}$, если есть то какие?
P.S. Возможно, $\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}\varepsilon_{i^1, I^2, \dots , i^n}$ это именно компоненты $\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}dx^1 \wedge dx^2 \wedge \dots \wedge dx^n$ , то есть если, рассматривать, например, $dx^{i^1} \wedge dx^{i^2} \wedge dx^{i^3}$ на каком-нибудь векторе $\varphi = \left\lbrace 1, 2, 3 \right\rbrace$, то $dx^{i^1}$ вернёт 1-координату вектора, равную 1, значение-число, но и $\varepsilon_{i^1, i^2, i^3}$ тоже число.

[Slav-27]

ErVynShred в сообщении #1503363 писал(а):

у нас есть единственный базисный тензор $dx^1 \wedge dx^2 \wedge \dots \wedge dx^n$ компоненты этого тензора в физической литературе принято обозначать $\varepsilon_{i^1, i^2, \dots , i^n}$

Иными словами, для $n$-формы $\omega=dx^1 \wedge dx^2 \wedge \dots \wedge dx^n$ её компоненты $\omega_{i_1...i_n}=\varepsilon_{i_1...i_n}$, то есть $dx^1 \wedge dx^2 \wedge \dots \wedge dx^n=\varepsilon_{i_1...i_n}dx^{i_1} \otimes dx^{i_2} \otimes \dots \otimes dx^{i_n}$.

Например, если локальные координаты на многообразии обозначены $x$ и $y$, то $dx\wedge dy=dx\otimes dy-dy\otimes dx$.

-- 30.01.2021, 13:55 --

ErVynShred в сообщении #1503363 писал(а):

P.S. Возможно, $\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}\varepsilon_{i^1, I^2, \dots , i^n}$ это именно компоненты $\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}dx^1 \wedge dx^2 \wedge \dots \wedge dx^n$

Вот именно. А дальше написано что-то, чего я не понимаю.

[ErVynShred]

Всё, теперь понятно, а дальше написан неудачный пример, т.к. не взята конкретная форма, например, какая-нибудь: $3xdy - 2y \cdot 4xdx + 5zdz$

[пианист]

Slav-27 в сообщении #1503365 писал(а):

$dx\wedge dy=dx\otimes dy-dy\otimes dx$

Стоит отметить, что в определении $dx\wedge dy$ нет общепринятого стандарта, где-то полагают так, где-то $dx\wedge dy=\frac{dx\otimes dy-dy\otimes dx}{2}$

[ErVynShred]

Тогда могу ли я $\frac{1}{k!}\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}\varepsilon_{i^1, i^2, \dots, i^k, i^{k+1}, \dots i^n}\omega^{i^1, ^2, \dots, i^k}$ представить в некомпонентном виде: $\frac{1}{k!}\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}dx^{i^1} \wedge \dots \wedge dx^{i^k} \wedge dx^{i^{k+1}} \wedge \dots \wedge dx^{i^n}\omega_{i^1, \dots , i^k}$ или $\frac{1}{k!}\sqrt{\left\lvert g \right\rvert}dx^{i^1} \wedge \dots \wedge dx^{i^k}dx^{i^{k+1}} \wedge \dots \wedge dx^{i^n}\omega_{i^1, \dots , i^k}$? Но мне кажется, что всё-таки $\wedge$ нужен между $dx^{i^k}$и $dx^{i^{k+1}}$?
Не поймите неправильно, что я задаю, возможно, глуповатые вопросы. Просто я до этого не имел дел с таким количеством индексов и обозначений, часто путаюсь в них.

[пианист]

ErVynShred в сообщении #1503488 писал(а):

представить в некомпонентном виде

Что есть "представить в некомпонентном виде" (и зачем, кстати)? В любом случае, в одном выражении индексы нижние, в двух других верхние.

[Slav-27]

ErVynShred
Неправильно, у вас в компонентной записи сколько свободных индексов, и, значит, форма какой валентности (сколько векторных полей принимает)? А потом какой валентности форма? Попробуйте $n=2,k=1$.

пианист
Как я понимаю, товарищ видит в книжке формулу для звёздочки Ходжа в терминах компонент $(\star\omega)_{i^{k+1}...i^n}=...$ и пытается уразуметь, чему равно $\star\left(\sum\limits_{i^1<...<i^k}\omega_{i^{1}...i^k}dx^{i^1}\wedge...\wedge dx^{i^k}\right)$.