Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)

[Mikhail_K]

Насколько я понимаю, единственная причина считать $0^0$ неопределённым, а не единицей - желание сохранить достаточно симпатичное утверждение, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке, в которой определена.

[Утундрий]

Mikhail_K в сообщении #1501654 писал(а):

Насколько я понимаю, единственная причина считать $0^0$ неопределённым, а не единицей - желание сохранить достаточно симпатичное утверждение, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке, в которой определена.

Нет, желание сохранить не менее симпатичное утверждение, что функция не определена там, где не имеет никакого определённого значения.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1501643 писал(а):

Нужны какие-то дополнительные аргументы.

Да, конечно, нужны, и ещё бы их притом не было уже условные сто лет как.

Если указать некоторые:

1. Мы любим $x^{y + z} = x^y x^z$, это самая основа возведения в степень, ну плюс $x^1 = x$. Как известно, это даёт нам для полугруппы полностью определённую степень с показателем из $\mathbb Z_+$. Для моноида это даёт нам добавить $x^0 = e$ для всех $x$, потому что это наиболее единообразно. Мы могли бы начать сомневаться в нулевой степени идемпотентных элементов, но это не даст нам определения, которое равноприменимо к любому моноиду и в каком-то смысле равномерно — $e$ записывается через язык моноидов и наиболее простым образом. Это всё остаётся верным для любого моноида безотносительно к тому, какие на нём ещё могут быть структуры. Несмотря на то, что мы можем добавить отрицательные и нецелочисленные показатели, во всех прочих ситуациях в математике мы не начинаем внезапно сверлить в хорошо определённой ранее функции дырочки про её доопределении.

1a. Мы рассматриваем топологические кольца, где операции непрерывны. Это не конфликтует с разрывом у вещественно-вещественнозначного возведения в степень, потому что возведение в степень я лично никогда не видел входящим в сигнатуру кольца. Входят туда как правило только сложение и умножение — с них и спрос — ну а если входят смена знака и мультипликативное обращение, то опять же это никак не открывает нам пути требовать непрерывность всюду и от возведения в степень. (Так что мы можем определить её в точке разрыва.)

2. Всевозможные биномы Ньютона, мощности множества отображений, и явление $x^0$ единичным многочленом (если учесть как многочлены ведут себя при подстановке какого-нибудь значения, в том числе 0). Почему-то они часто считаются недостойными говорить за всю математику, де они дискретные, полнота их одностороння и всё такое — но покажите мне специалиста, который вот действительно хочет считать, что математику можно независимо задать по кускам. Разумно стремиться унифицировать всё, что можно унифицировать, а не придумывать по десять вариантов одного и того же для разных областей. И действительно подобных проблем кажется практически нет. (Вопрос о конструктивизме, интуиционизме — отдельный, я не готов ничего по этому поводу сказать, но к счастью он не должен изменить основной аргументации в конкретно этом случае. И в конце концов мы почти всегда можем строить модели одного в другом.) Потому даже если бы пределы закрывали нам путь, всё равно стоило бы что-то попробовать переформулировать, чтобы улучшить ситуацию.

-- Пн янв 18, 2021 00:04:12 --

Утундрий в сообщении #1501655 писал(а):

Нет, желание сохранить не менее симпатичное утверждение, что функция не определена там, где не имеет никакого определённого значения.

Похоже, вы вкладываете разный смысл в то и другое. Могли бы вы пояснить, куда какой хотя бы примерно?

-- Пн янв 18, 2021 00:16:15 --

Если я правильно понимаю, вы предполагаете, что «дух» возведения в степень как оно уже давно понимается недостаточно сильный, чтобы установить однозначно значение $0^0$, и нужны дополнительные аргументы, не связанные с ним непосредственно. На мой взгляд, все хорошие аргументы связаны с ним непосредственно. Есть плохие аргументы за, типа $\lim\limits_{x\to +0} x^x = 1$, которые как раз не связаны непосредственно — они используют пределы, которые как раз изначально и навели тень на плетень.

(Есть амбивалентный аргумент, что если мы возьмём $f, g$ аналитическими в нуле, и также $f > 0$ на некотором интервале $(0, a)$ и $f(x)\to 0, g(x)\to 0$ при $x\to +0$, то всё же $f(x)^{g(x)}\to 1$. Я бы предложил его тоже не включать в ядро аргументации, потому что во-первых условия требуются довольно сильные (кроме аналитичности ещё пара), и во-вторых он опять же делает видимость того, что пределы здесь важны, и вероятно что они что-то изначально нам запрещали.)

Но вообще, возвращаясь к своему вопросу об уточнении, я бы сказал, что то, что вы написали — не очень аргумент. Это просто пресуппозиция ничего не делать, когда ничего не известно (ничего против неё не имею), тогда как предполагается, что придерживающийся аргумента против определения $0^0$ знаком с как минимум какими-то аргументами за и решил, что они недостаточны, исходя из чего-то, а не просто так. Это что-то и не было приведено — жалко.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1501661 писал(а):

Если указать некоторые:

Прелестно, вот там и вводите свою единицу. Но не везде и всюду. В частности, не там, где уже показано, что никакая она не единица, а и вовсе любое наперёд заданное число. (Я про вещественные числа, если что.)

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1501683 писал(а):

там, где уже показано, что никакая она не единица, а и вовсе любое наперёд заданное число

Но как показано-то?

[Утундрий]

Что-то я потерял нить разговора. Давайте совершим фланговый манёвр и поглядим на ситуацию с заднего боку. По мне, так всякая аксиоматика - нечто вроде законов сохранения. Чтобы, не компостируя где не надо себе и людям, мозги прийти сразу же к правильному результату. Краеугольное слово тут - правильному. И вот, когда я, допустим, вижу

$$\text{В нашем доме завсегда } 0^0=1 \text{, ура!}$$

то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда.

[Mikhail_K]

Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):

то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда.

Мне кажется, Вы путаете значение функции в точке (в данном случае функции $f(x,y)=x^y$ в точке $(0,0)$) с пределом (или частичным пределом) функции в этой точке. Никто не спорит с тем, что предела у данной функции в данной точке нет, а частичные пределы есть разные.

Если же Вы говорите не о пределах, а именно о значении функции в точке, то давайте уже, продемонстрируйте, чему именно в современной математике противоречит соглашение $f(0,0)=0^0=1$. Как именно можно "внезапно обнаружить", что $0^0$ не равно (не всегда равно?) единице.

[Xaositect]

Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):

Что-то я потерял нить разговора. Давайте совершим фланговый манёвр и поглядим на ситуацию с заднего боку. По мне, так всякая аксиоматика - нечто вроде законов сохранения. Чтобы, не компостируя где не надо себе и людям, мозги прийти сразу же к правильному результату. Краеугольное слово тут - правильному.

В данном случае это исключительно вопрос удобства, чтобы не надо было каждый раз, когда пишется $\sum\limits_{k = 0}^n a_k z^k$ или $\sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} a_k z^k$ или $e^z = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}$ не надо было пояснять, что $z^0 = 1$ при $z = 0$.

[Утундрий]

Удобство, достигнутое в одном месте, оборачивается неудобством в каком-то другом. То есть, вопрос по сути сводится к перетягиванию одеяла.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1501749 писал(а):

Удобство, достигнутое в одном месте, оборачивается неудобством в каком-то другом. То есть, вопрос по сути сводится к перетягиванию одеяла.

Это не всегда так.

Утундрий в сообщении #1501741 писал(а):

то мне будет крайне пренеприятно внезапно обнаружить, что не завсегда

Как это можно обнаружить?

[Xaositect]

Утундрий в сообщении #1501749 писал(а):

Удобство, достигнутое в одном месте, оборачивается неудобством в каком-то другом. То есть, вопрос по сути сводится к перетягиванию одеяла.

Возьмите любой текст по любой области математики и сравните, сколько раз там написаны многочлены или ряды с $x^0$, и сколько раз обсуждается поведение $x^y$ около нуля.

[Odysseus]

Я бы, кстати, привел пример функции Хевисайда. Она разрывная в нуле, но ее там для удобства доопределяют, обычно одним из трех способов: $0$, $\frac{1}{2}$ или $1$. Это не предел функции в нуле, как минимум не с обеих сторон. Просто удобно чтобы в каждой точке у нее было какое-то значение. Если и к $0^0$ относиться подобным образом, то проблем не будет.

Останется только договориться чему именно это должно быть равно. Здесь могут быть разные мнения, как и с соглашением о значении $\theta (0)$. Но это не принципиально важно. Достаточно, чтобы был некий консенсус по наиболее принятому значению, аналогично тому наиболее популярным значением для $\theta (0)$ является $\frac{1}{2}$.

Ну а так, конечно, можно долго обсуждать и является ли $0$ натуральным числом :)

[Утундрий]

Odysseus в сообщении #1501755 писал(а):

Здесь могут быть разные мнения, как и с соглашением о значении $\theta (0)$. Но это не принципиально важно. Достаточно, чтобы был некий консенсус по наиболее принятому значению, аналогично тому наиболее популярным значением для $\theta (0)$ является $\frac{1}{2}$.

Важно. Это значение не случайно, а согласуется с теоремой Фейера.

[mihaild]

Odysseus в сообщении #1501755 писал(а):

Здесь могут быть разные мнения, как и с соглашением о значении $\theta (0)$. Но это не принципиально важно.

$0^0 = 1$ удобно во многих случаях (например действительно в рядах Тейлора / Лорана). В каких случаях удобно другое значение?
Я не видел, чтобы функцию Хевисайда доопределяли чем-то кроме $\frac{1}{2}$, и вроде бы ни разу не видел ни одного текста, где было бы важно, какое у неё значение в нуле. А вот для степени - важно.

[Odysseus]

mihaild в сообщении #1501759 писал(а):

$0^0 = 1$ удобно во многих случаях (например действительно в рядах Тейлора / Лорана). В каких случаях удобно другое значение?

Я не говорил, что по-моему мнению в каких-то случаях удобно другое значение. Просто допустил, что у кого-то может быть другое мнение. Лично мне как раз логичнее представляется, что $0^0 = 1$, но я встречал предложения считать $0^0 = 0$.

mihaild в сообщении #1501759 писал(а):

Я не видел, чтобы функцию Хевисайда доопределяли чем-то кроме $\frac{1}{2}$

Я тоже всегда помнил, что она доопределяется в нуле только как $\frac{1}{2}$, но перед написанием поста на всякий случай проверил, и Википедия говорит, что бывают также варианты $0$ и $1$.

В общем, в обоих случаях мой пойнт был в том, что когда речь идет о предложении соглашения для некоей "неопределенности", то не всех оно сможет убедить. Поэтому и употреблял выражения типа "наиболее популярное", а не "единственное".

mihaild в сообщении #1501759 писал(а):

и вроде бы ни разу не видел ни одного текста, где было бы важно, какое у неё значение в нуле. А вот для степени - важно.

Это другой вопрос. Но на самом деле это, к сожалению, может быть аргументом в пользу того, чтобы не определять $0^0$, как раз потому, что не все могут быть согласны с логичностью данного определения, т.е. не будут его полностью принимать, и значит это может создавать путаницу. А значит и здесь можем прийти к ситуации, когда в каждой второй книге по теории чисел автор сначала уточняет считает ли он $0$ натуральным числом или нет...