Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)

[Gagarin1968]

Любопытная вещь.
Встроенный калькулятор в Windows 7 даёт $0^0=1$.
Встроенный калькулятор в моём смартфоне Redmi-4 даёт "Error".
Калькулятор fx-82 даёт $1$.
Старый советский калькулятор МК-71 даёт $0$.
Никогда не обращал внимания на подобные расхождения.

[arseniiv]

novichok2018 в сообщении #1501309 писал(а):

Почему тогда не считать, что всегда $0/0=1$, есть разница?

Если мы хотим сохранить структуру кольца для $\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ и некоторых других, то этого нельзя принять. Если в кольце существует обратный к 0 по умножению, то оно тривиально, то есть только из нуля и состоит.

[Утундрий]

arseniiv
Ок, давайте конкретизируем вопрос. Как учит нас Википедия, уместность приписывания выражению $0^0$ численного значения всегда сугубо ситуационна. Вы планируете перебрать все возможные ситуации возникновения нулевой степени нуля или готовы ограничиться каким-то их конечным количеством?

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1501394 писал(а):

Как учит нас Википедия, уместность приписывания выражению $0^0$ численного значения всегда сугубо ситуационна.

Она не учит нас, она пытается описать современную ситуацию, более или менее успешно. Я (ну, и не только) рассматриваю эту ситуацию как неудовлетворительную. Это не значит, что я могу сильно приблизить то будущее, которое интересует, глобально, но полезно знать эффективный способ убеждения на случай, когда мне повезёт сделать хоть какую-то разницу.

Утундрий в сообщении #1501394 писал(а):

Вы планируете перебрать все возможные ситуации возникновения нулевой степени нуля или готовы ограничиться каким-то их конечным количеством?

Нет, разумеется, аргументы от отдельных случаев достаточно слабы и от любого их числа может получиться отмахнуться как от частностей. Они хороши как примеры, ибо человеческий мозг обычно жаждет конкретных примеров, но он так же жаждет общих оснований, и я более-менее разобрался в том, как их лучше всего организовать и привести контраргументы стороне, утверждающей, что неопределённость лучший ответ.

[Someone]

Если не трогать теорию пределов и ограничиваться чистой алгеброй, то в ассоциативном кольце с единицей соглашение $0^0=1$ является совершенно естественным и удобным. Ссылок на литературу, естественно, не приведу, ориентируюсь на свой опыт.
Все проблемы с $0^0$ возникают в связи с пределами и непрерывностью.

[3apa3a]

Someone в сообщении #1501408 писал(а):

Если не трогать теорию пределов и ограничиваться чистой алгеброй,

$0^0=0^{3-3}=\frac{0^3}{0^3}=\frac{0+1-1}{0}=\frac{0}{0}+\frac{1}{0}-\frac{1}{0}$

Как будем определять операцию деления на ноль, чтобы получилась 1?

[Someone]

3apa3a в сообщении #1501585 писал(а):

Как будем определять операцию деления на ноль, чтобы получилась 1?

Никак не будем. А также не будем делать глупости наподобие

3apa3a в сообщении #1501585 писал(а):

$0^0=0^{3-3}=\frac{0^3}{0^3}=\frac{0+1-1}{0}=\frac{0}{0}+\frac{1}{0}-\frac{1}{0}$

Деление на ноль Вам никто не обещал.

[arseniiv]

3apa3a
Это некорректные выкладки, надеюсь они не будут тут дальше обсуждаться после того как Someone показал, где проблема.

Однако то, что теория пределов накладывает крест на определённость $0^0$, тоже достаточно спорно. Как я понимаю, практически всегда корни этого идут из желания иметь теорему $\lim\limits_x f(x)^{g(x)} = (\lim\limits_x f(x))^{(\lim\limits_x g(x))}$ (все пределы по одному какому-нибудь фильтру), не имеющую никаких дополнительных условий (кроме существования пределов). Однако никто нам не обещал, что такая теорема должна быть. Правильнее взять общую теорему $\lim\limits_x H(F(x)) = H(\lim\limits_x F(x))$ для непрерывной в $\lim\limits_x F(x)$ функции $H$, и например для $H(x, y) = x + y$, $H(x, y) = xy$ мы получим обычные теоремы о пределах, не обременённые условиями, потому что эти функции всюду непрерывны, но для $H(x, y) = x^y$ мы получим теорему только с условием $(x, y)\ne (0, 0)$, потому что как раз там у этой функции неустранимый разрыв. Это же говорит нам, что мы спокойно можем допустить, что она в этой точке определена, потому что разрыв останется и теорема не станет «некорректно применимой». Можно понять, почему хочется, чтобы «безусловная» теорема $\lim\limits_x f(x)^{g(x)} = (\lim\limits_x f(x))^{(\lim\limits_x g(x))}$ имела место — в ней берётся бинарная операция от функций, и кроме того операция, кажущаяся изучающим анализ достаточно одомашненной, как сложение-вычитание и умножение. Но вот даже теорема для деления функций имеет дополнительное условие на предел знаменателя.

«Неопределёность вида $0/0$» при этом может ошибочно восприниматься как что-то, имеющее связь с тем, что $0/0$ невозможно удовлетворительно определить, но случай $0^0$ не обязан работать так же, и необходимость дидактически поминать «неопределённость вида $0^0$» не имеет никаких следствий для выражения $0^0$: определено оно или нет, неустранимый разрыв на месте и теоремы, будучи применены с должной аккуратностью, не начинают давать странных результатов, и все пределы остаются теми же как были. Если бы в был смысл говорить о «неопределённости вида $1^1$» или ещё лучше, вида $2 + 2$, было бы совершенно очевидно, что смешиваются две вещи.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1501610 писал(а):

Однако то, что теория пределов накладывает крест на определённость $0^0$, тоже достаточно спорно.

Однако же, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {a^{ - 1/x} } \right)^x = 1/a$

arseniiv в сообщении #1501610 писал(а):

Как я понимаю, практически всегда корни этого идут из...

...того, что функция двух переменных $x^y $ имеет в точке $(0,0)$ существенную особенность

[lel0lel]

arseniiv в сообщении #1501383 писал(а):

novichok2018 в сообщении #1501309 писал(а):

Почему тогда не считать, что всегда $0/0=1$, есть разница?

Если мы хотим сохранить структуру кольца для $\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ и некоторых других, то этого нельзя принять. Если в кольце существует обратный к 0 по умножению, то оно тривиально, то есть только из нуля и состоит.

Это так если считать запись $0/0$ как деление на ноль, если же воспринимать это как упрощённое обозначение предела, то проблем не возникнет. Например, первый замечательный предел будет иметь вид $\frac{\sin{0}} {0}=1 $. То есть это просто упрощённая запись предела. Все преобразования таких выражений необходимо выполнять в соответствии с теорией пределов.

Это, конечно, только один вариант придать смысл таким записям. Не считаю его самым логичным, просто один вариант.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1501618 писал(а):

...того, что функция двух переменных $x^y $ имеет в точке $(0,0)$ существенную особенность

ну про вещественный случай я написал, а про комплексный я не могу себе позволить, потому что так и не разобрался с ТФКП по-нормальному.

Утундрий в сообщении #1501618 писал(а):

Однако же, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {a^{ - 1/x} } \right)^x = 1/a$

А что это должно давать? Ну предел и предел, есть куча разных пределов. Вы ведь выше написали, что функция не непрерывна, с какой стати с её значением в точке должны быть связаны пределы?

lel0lel в сообщении #1501619 писал(а):

То есть это просто упрощённая запись предела. Все преобразования таких выражений необходимо выполнять в соответствии с теорией пределов.

Разумеется. Потому это никак не освещает того, что творится со значением функции $(x, y)\mapsto x^y$ в $(0, 0)$, и это значение в первую очередь и есть то, что обозначается как $0^0$. Даже когда говорят о подводных камнях в вычислении пределов наобум, говорят «неопределённость вида $0/0$» а не просто $0/0$, а $0/0$ само по себе означает выражение, не имеющее значения, но не просто так, а потому что мы хотим вычислить функцию $(x, y)\mapsto \frac xy$ там, где она не определена, так что просто так придавать этому новое значение нельзя, и ровно то же в случае $0^0$.

[Xaositect]

Не совсем про то, но может быть интересно: заметка о функциях возведения в степень от разработчиков IEEE 754: https://754r.ucbtest.org/background/power.txt

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1501628 писал(а):

функция не непрерывна, с какой стати с её значением в точке должны быть связаны пределы?

Для начала, значения функции в рассматриваемой точке не существует.

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1501630 писал(а):

Для начала, значения функции в рассматриваемой точке не существует.

Просто так или к этому есть аргументы? Ведь эта тема как раз про них как раз насчёт того, какое значение у неё там есть или почему его там нет.

-- Вс янв 17, 2021 22:04:39 --

Это не праздный вопрос. Допустим, функция имеет разные пределы по разным фильтрам [содержащим $(0, 0)$]. Это само по себе не значит, что мы не можем придать ей значение в $(0, 0)$. То, что есть два хорошо согласующихся со свойством $x^{y + z} = x^y x^z$ значения, 0 и 1, опять же не говорит, что мы должны сразу опустить руки и не выбирать из них. Мне интересно было бы узнать, какова причина сдержаться от определения у вас, и с чем оно несовместно в вашей картине мира.

[Утундрий]

Вы можете придать ей какое угодно значение, только оно никак не будет связано с самой функцией. Нужны какие-то дополнительные аргументы. Например, когда мы суммируем ряды Фурье по Чезаро, теорема Фейера устанавливает совершенно определённое значение суммы в каждой точке.