2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение16.01.2021, 10:54 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Любопытная вещь.
Встроенный калькулятор в Windows 7 даёт $0^0=1$.
Встроенный калькулятор в моём смартфоне Redmi-4 даёт "Error".
Калькулятор fx-82 даёт $1$.
Старый советский калькулятор МК-71 даёт $0$.
Никогда не обращал внимания на подобные расхождения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение16.01.2021, 17:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
novichok2018 в сообщении #1501309 писал(а):
Почему тогда не считать, что всегда $0/0=1$, есть разница?
Если мы хотим сохранить структуру кольца для $\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ и некоторых других, то этого нельзя принять. Если в кольце существует обратный к 0 по умножению, то оно тривиально, то есть только из нуля и состоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение16.01.2021, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
arseniiv
Ок, давайте конкретизируем вопрос. Как учит нас Википедия, уместность приписывания выражению $0^0$ численного значения всегда сугубо ситуационна. Вы планируете перебрать все возможные ситуации возникновения нулевой степени нуля или готовы ограничиться каким-то их конечным количеством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение16.01.2021, 18:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Утундрий в сообщении #1501394 писал(а):
Как учит нас Википедия, уместность приписывания выражению $0^0$ численного значения всегда сугубо ситуационна.
Она не учит нас, она пытается описать современную ситуацию, более или менее успешно. Я (ну, и не только) рассматриваю эту ситуацию как неудовлетворительную. Это не значит, что я могу сильно приблизить то будущее, которое интересует, глобально, но полезно знать эффективный способ убеждения на случай, когда мне повезёт сделать хоть какую-то разницу.

Утундрий в сообщении #1501394 писал(а):
Вы планируете перебрать все возможные ситуации возникновения нулевой степени нуля или готовы ограничиться каким-то их конечным количеством?
Нет, разумеется, аргументы от отдельных случаев достаточно слабы и от любого их числа может получиться отмахнуться как от частностей. Они хороши как примеры, ибо человеческий мозг обычно жаждет конкретных примеров, но он так же жаждет общих оснований, и я более-менее разобрался в том, как их лучше всего организовать и привести контраргументы стороне, утверждающей, что неопределённость лучший ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение16.01.2021, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Если не трогать теорию пределов и ограничиваться чистой алгеброй, то в ассоциативном кольце с единицей соглашение $0^0=1$ является совершенно естественным и удобным. Ссылок на литературу, естественно, не приведу, ориентируюсь на свой опыт.
Все проблемы с $0^0$ возникают в связи с пределами и непрерывностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 17:25 


17/12/15
66
Someone в сообщении #1501408 писал(а):
Если не трогать теорию пределов и ограничиваться чистой алгеброй,


$0^0=0^{3-3}=\frac{0^3}{0^3}=\frac{0+1-1}{0}=\frac{0}{0}+\frac{1}{0}-\frac{1}{0}$

Как будем определять операцию деления на ноль, чтобы получилась 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
3apa3a в сообщении #1501585 писал(а):
Как будем определять операцию деления на ноль, чтобы получилась 1?
Никак не будем. А также не будем делать глупости наподобие
3apa3a в сообщении #1501585 писал(а):
$0^0=0^{3-3}=\frac{0^3}{0^3}=\frac{0+1-1}{0}=\frac{0}{0}+\frac{1}{0}-\frac{1}{0}$
Деление на ноль Вам никто не обещал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 18:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
3apa3a
Это некорректные выкладки, надеюсь они не будут тут дальше обсуждаться после того как Someone показал, где проблема.

Однако то, что теория пределов накладывает крест на определённость $0^0$, тоже достаточно спорно. Как я понимаю, практически всегда корни этого идут из желания иметь теорему $\lim\limits_x f(x)^{g(x)} = (\lim\limits_x f(x))^{(\lim\limits_x g(x))}$ (все пределы по одному какому-нибудь фильтру), не имеющую никаких дополнительных условий (кроме существования пределов). Однако никто нам не обещал, что такая теорема должна быть. Правильнее взять общую теорему $\lim\limits_x H(F(x)) = H(\lim\limits_x F(x))$ для непрерывной в $\lim\limits_x F(x)$ функции $H$, и например для $H(x, y) = x + y$, $H(x, y) = xy$ мы получим обычные теоремы о пределах, не обременённые условиями, потому что эти функции всюду непрерывны, но для $H(x, y) = x^y$ мы получим теорему только с условием $(x, y)\ne (0, 0)$, потому что как раз там у этой функции неустранимый разрыв. Это же говорит нам, что мы спокойно можем допустить, что она в этой точке определена, потому что разрыв останется и теорема не станет «некорректно применимой». Можно понять, почему хочется, чтобы «безусловная» теорема $\lim\limits_x f(x)^{g(x)} = (\lim\limits_x f(x))^{(\lim\limits_x g(x))}$ имела место — в ней берётся бинарная операция от функций, и кроме того операция, кажущаяся изучающим анализ достаточно одомашненной, как сложение-вычитание и умножение. Но вот даже теорема для деления функций имеет дополнительное условие на предел знаменателя.

«Неопределёность вида $0/0$» при этом может ошибочно восприниматься как что-то, имеющее связь с тем, что $0/0$ невозможно удовлетворительно определить, но случай $0^0$ не обязан работать так же, и необходимость дидактически поминать «неопределённость вида $0^0$» не имеет никаких следствий для выражения $0^0$: определено оно или нет, неустранимый разрыв на месте и теоремы, будучи применены с должной аккуратностью, не начинают давать странных результатов, и все пределы остаются теми же как были. Если бы в был смысл говорить о «неопределённости вида $1^1$» или ещё лучше, вида $2 + 2$, было бы совершенно очевидно, что смешиваются две вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
arseniiv в сообщении #1501610 писал(а):
Однако то, что теория пределов накладывает крест на определённость $0^0$, тоже достаточно спорно.
Однако же, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {a^{ - 1/x} } \right)^x  = 1/a$
arseniiv в сообщении #1501610 писал(а):
Как я понимаю, практически всегда корни этого идут из...
...того, что функция двух переменных $x^y $ имеет в точке $(0,0)$ существенную особенность

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 19:03 


20/04/10
1776
arseniiv в сообщении #1501383 писал(а):
novichok2018 в сообщении #1501309 писал(а):
Почему тогда не считать, что всегда $0/0=1$, есть разница?
Если мы хотим сохранить структуру кольца для $\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$ и некоторых других, то этого нельзя принять. Если в кольце существует обратный к 0 по умножению, то оно тривиально, то есть только из нуля и состоит.
Это так если считать запись $0/0$ как деление на ноль, если же воспринимать это как упрощённое обозначение предела, то проблем не возникнет. Например, первый замечательный предел будет иметь вид $\frac{\sin{0}} {0}=1 $. То есть это просто упрощённая запись предела. Все преобразования таких выражений необходимо выполнять в соответствии с теорией пределов.

Это, конечно, только один вариант придать смысл таким записям. Не считаю его самым логичным, просто один вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 19:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Утундрий в сообщении #1501618 писал(а):
...того, что функция двух переменных $x^y $ имеет в точке $(0,0)$ существенную особенность
ну про вещественный случай я написал, а про комплексный я не могу себе позволить, потому что так и не разобрался с ТФКП по-нормальному.

Утундрий в сообщении #1501618 писал(а):
Однако же, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {a^{ - 1/x} } \right)^x  = 1/a$
А что это должно давать? Ну предел и предел, есть куча разных пределов. Вы ведь выше написали, что функция не непрерывна, с какой стати с её значением в точке должны быть связаны пределы?

lel0lel в сообщении #1501619 писал(а):
То есть это просто упрощённая запись предела. Все преобразования таких выражений необходимо выполнять в соответствии с теорией пределов.
Разумеется. Потому это никак не освещает того, что творится со значением функции $(x, y)\mapsto x^y$ в $(0, 0)$, и это значение в первую очередь и есть то, что обозначается как $0^0$. Даже когда говорят о подводных камнях в вычислении пределов наобум, говорят «неопределённость вида $0/0$» а не просто $0/0$, а $0/0$ само по себе означает выражение, не имеющее значения, но не просто так, а потому что мы хотим вычислить функцию $(x, y)\mapsto \frac xy$ там, где она не определена, так что просто так придавать этому новое значение нельзя, и ровно то же в случае $0^0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Не совсем про то, но может быть интересно: заметка о функциях возведения в степень от разработчиков IEEE 754: https://754r.ucbtest.org/background/power.txt

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
arseniiv в сообщении #1501628 писал(а):
функция не непрерывна, с какой стати с её значением в точке должны быть связаны пределы?
Для начала, значения функции в рассматриваемой точке не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 19:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Утундрий в сообщении #1501630 писал(а):
Для начала, значения функции в рассматриваемой точке не существует.
Просто так или к этому есть аргументы? Ведь эта тема как раз про них как раз насчёт того, какое значение у неё там есть или почему его там нет.

-- Вс янв 17, 2021 22:04:39 --

Это не праздный вопрос. Допустим, функция имеет разные пределы по разным фильтрам [содержащим $(0, 0)$]. Это само по себе не значит, что мы не можем придать ей значение в $(0, 0)$. То, что есть два хорошо согласующихся со свойством $x^{y + z} = x^y x^z$ значения, 0 и 1, опять же не говорит, что мы должны сразу опустить руки и не выбирать из них. Мне интересно было бы узнать, какова причина сдержаться от определения у вас, и с чем оно несовместно в вашей картине мира.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статьи, обсуждающие 0⁰ (кому тема надоела, не входите:)
Сообщение17.01.2021, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Вы можете придать ей какое угодно значение, только оно никак не будет связано с самой функцией. Нужны какие-то дополнительные аргументы. Например, когда мы суммируем ряды Фурье по Чезаро, теорема Фейера устанавливает совершенно определённое значение суммы в каждой точке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group