Покажем, что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется минимальный элемент.
Пусть
. Если
, то
, поскольку
.
Пусть теперь
, т. е.
. В множестве
должно найтись такое натуральное число
, что все натуральные числа, не превосходящие
, лежат в
, а
. Если бы такого
не было, то множество
, содержащее единицу, вместе с
содержало бы и
и по принципу индукции совпадало бы с
. Последнее невозможно, поскольку
.
Вопрос касательно "Если бы такого
не было, то множество
, содержащее единицу, вместе с
содержало бы и
" Я лишь могу понять эквивалентное предположению от противного
. Но в некоторых множествах, очевидно, найдутся элементы меньшие чисел, не лежащих в этих множествах. Значит
не получим. Как тогда получили
?