2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение11.12.2020, 15:05 


29/11/18
28
$7^{\circ}$ Покажем, что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется минимальный элемент.
Пусть $M\subset\mathbb{N}$. Если $1\in M$, то $\min M=1$, поскольку $\forall n\in\mathbb{N}$ $(1\leqslant n)$.
Пусть теперь $1\notin M$, т. е. $1\in E =\mathbb{N}\setminus M$. В множестве $E$ должно найтись такое натуральное число $n\in E$, что все натуральные числа, не превосходящие $n$, лежат в $E$, а $(n + 1)\in M$. Если бы такого $n$ не было, то множество $E\subset\mathbb{N}$, содержащее единицу, вместе с $n\in E$ содержало бы и $(n + 1)$ и по принципу индукции совпадало бы с $\mathbb{N}$. Последнее невозможно, поскольку $\mathbb{N}\setminus E=M=\varnothing$.

Вопрос касательно "Если бы такого $n$ не было, то множество $E\subset\mathbb{N}$, содержащее единицу, вместе с $n\in E$ содержало бы и $(n + 1)$" Я лишь могу понять эквивалентное предположению от противного $\forall n\in E([\forall n'\in\mathbb{N} (n'\leqslant n\to n'\in E)]\to (n+1)\in E)$. Но в некоторых множествах, очевидно, найдутся элементы меньшие чисел, не лежащих в этих множествах. Значит $\forall n\in E[\forall n'\in\mathbb{N}(n'\leqslant n\to n'\in E)]$ не получим. Как тогда получили $\forall n\in E$ $(n+1)\in E$ ?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.12.2020, 15:16 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не надо набирать вообще все в математической моде, оставьте в ней только собственно формулы и обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.12.2020, 15:47 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение12.12.2020, 03:35 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
ignat.fugasov в сообщении #1496042 писал(а):
эквивалентное предположению от противного
Формулу вашу я не понял, подозреваю, она неправильна.
Рассуждение, имхо, примерно такое: если 1) $1\in E$ и 2) $\forall n:n\in E\to n+1\in E$, то $\mathbb N\subset E$ с очевидными последствиями. Поскольку первое предположение верно, неверным должно быть второе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение12.12.2020, 10:41 


29/11/18
28
iifat
В множестве $E$ должно найтись такое натуральное число $n\in E$, что все натуральные числа, не превосходящие $n$, лежат в $E$, а $(n + 1)\in M$. То есть : $$ \exists n \in E ~ (\forall n' \in \mathbb{N} ~ (n' \leqslant n \to n' \in E) \wedge (n+1)\in M)$$
Предположим, что это не верно $$\forall n\in E([\forall n'\in\mathbb{N} (n'\leqslant n\to n'\in E)]\to (n+1)\notin M)$$
Ну и по определению $E = \mathbb{N} \setminus M $ получаем $(n+1)\notin M \leftrightarrow (n+1)\in E$
iifat в сообщении #1496114 писал(а):
Поскольку первое предположение верно, неверным должно быть второе.

Как раз таки относительно произвольного $n \in E$ гарантировать первое предложение $\forall n'\in\mathbb{N} (n'\leqslant n\to n'\in E)$ не можем. Это, по сути, указал в первом посте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение12.12.2020, 11:48 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Да, с формулами разобрался, кажется, всё верно. И из второй, опять же, вытекает по индукции $\mathbb N\subset E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение12.12.2020, 11:57 


29/11/18
28
iifat в сообщении #1496133 писал(а):
И из второй, опять же, вытекает по индукции $\mathbb N\subset E$.

iifat
Кажется что нет, мб туплю. Если словами, то можно гарантировать, что только для специфических $n \in E ~(n+1)\in E$, а именно, если предыдущие натуральные в $E$ сидят. Индукцию из таких "частных" случаев не построить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение12.12.2020, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Есть три варианта:
1. $1 \in E$ и $\forall n \in \mathbb{N}\,((\forall m \leq n\,(m\in E)) \to n + 1 \in E)$. В этом случае индукция проходит и $M = \varnothing$.
2. Неверно, что $1 \in E$. Тогда $1$ - это минимум в $M$.
3. Неверно, что $\forall n \in \mathbb{N}\,((\forall m \leq n\,(m\in E)) \to n + 1 \in E)$. То есть $\exists n \in \mathbb{N}\,((\forall m \leq n\,(m \in E)) \wedge n + 1 \notin E)$. То есть для некоторого $n$ начальный сегмент $\{1, 2, \dots, n\}$ лежит в $E$, а следующее число $n + 1$ лежит в $M$. Оно и будет минимальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение12.12.2020, 15:01 


29/11/18
28
Xaositect в сообщении #1496139 писал(а):
$1 \in E$ и $\forall n \in \mathbb{N}\,((\forall m \leq n\,(m\in E)) \to n + 1 \in E)$. В этом случае индукция проходит и $M = \varnothing$.

Это же полная индукция... Просто используется в учебнике только
$$E \subset \mathbb{N} \land1\in E\land \forall n\in E (n\in E \to n+1 \in E )\to \mathbb {N} = E$$
Проглядел. :?
буду выводить её как-то

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. анализ, Зорич, натуральные числа, следствие 7.
Сообщение13.12.2020, 10:30 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Вот и охота же ж людям самим себя бурбакизьмомъ оболванивать ... :-( Зорич же сам в определенном месте пишет, мол, на первых двух главах особенно не застревайте, а так, просмотрите для сведения...
В.А.Зорич писал(а):
Напомню также, что в предисловии к первому изданию я желал предостеречь и читателя, и начинающего преподавателя от чрезмерно долгого сквозного изучения вводных формальных глав. Это заметно откладывает собственно анализ и сильно смещает акценты.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group