Условие амодальности функции

[artful7]

Вот пример обсуждаемой амодальной функции: нет максимума, а края асимптотически стремятся к значению 1. Значение 1 взято для примера, как говорится, что было под руками...


Добавлено спустя 1 час 4 минуты 4 секунды:

Значит, в итоге остается:
$\[\left( {\forall x \in X} \right)\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\exists x_1 \in \left( {x - \varepsilon ;\;x} \right) \cap X,\;\exists x_2 \in \left( {x;\;x + \varepsilon } \right) \cap X:\left( {f\left( {x_1 } \right) > f\left( x \right)} \right) \vee \left( {f\left( {x_2 } \right) > f\left( x \right)} \right)\]$

вопрос только в том, зачем дополнительно указывать пересечение $\[ \cap X\]$, ведь вначале выражения уже указано $\[\left( {\forall x \in X} \right)\]$?

[ewert]

ну зевнул. Просто (зевая) совершенно не могу осознать возможный практический смысл понятия "а/уни/полимодальность функции, заданной на множестве, отличном от промежутка".

(ну и времени было мало -- в тот момент до ухода на работу оставалась одна минута, а может, даже и минус одна)

[artful7]

Искреннее спасибо за время, пожертвованное за счет работы.

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

Под $X$ подразумевается, конечно, множество?

[ewert]

ну не я же это сочинил первым, а

PAV в сообщении #148888 писал(а):

$\forall x\in X\, \exists y\in X :$ ...

А всё потому, что Вы не уточнили, где конкретно задана функция.

[artful7]

Ошибку признаю...

[Dan B-Yallay]

artful7 писал(а):

Значит, в итоге остается:
$\[\left( {\forall x \in X} \right)\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\exists x_1 \in \left( {x - \varepsilon ;\;x} \right) \cap X,\;\exists x_2 \in \left( {x;\;x + \varepsilon } \right) \cap X:\left( {f\left( {x_1 } \right) > f\left( x \right)} \right) \vee \left( {f\left( {x_2 } \right) > f\left( x \right)} \right)\]$

Согласно этого определения для любой точки $x \in X$ слева или справа ИЛИ с обеих сторон от нее найдется другая(ие) точка(и) в которых значение функции больше чем $f(x)$.

Надо бы сделать категоричное "ИЛИ", Как он там называется - штрих Шеффера?

Кроме того, судя по рисунку вам необходимо, чтобы график функции по краям имел исчезающую производную (вы именно это называете "асимптота"? ) и пределы на краях совпадали. Если это так, то вышеуказанного определения недостаточно.
Попробуте что-то в таком духе(я не претендую на безупречность):

$\[\left( {\forall x \in X} \right)\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left(\exists x_1, x_2 \in X \right)$
$ (x_1<x_2< x) \&(f(x) < f(x_2)) \& (0<f(x_1)- f(x_2) < \varepsilon(x_2 - x_1)\left)$_ "категоричное ИЛИ" (аналогичное требование справа от $x$)

А если еще вдруг пределы "асимптот" различны ...

ЗЫ
Если же график $|x|$ на интервале $(-1, 1)$ устраивает, можете выбросить мое определение.

[artful7]

Dan B-Yallay в сообщении #149119 писал(а):

Если же график на интервале устраивает, можете выбросить мое определение.

Почему именно такой интервал?

[Dan B-Yallay]

Взял первый пришедший в голову интервал вокруг нуля и выпуклую функцию. Если хотите можете взять $x^2$ на $(-7.40, 7.40)$

[artful7]

Сим-сорок... Это совпадение?

[ewert]

Dan B-Yallay писал(а):

Согласно этого определения для любой точки $x \in X$ слева или справа ИЛИ с обеих сторон от нее найдется другая(ие) точка(и) в которых значение функции больше чем $f(x)$.

Надо бы сделать категоричное "ИЛИ", Как он там называется - штрих Шеффера?

не надо бы

[Dan B-Yallay]

ewert писал(а):

не надо бы

Надо бы - не надо бы...
Функция на (0,1) определенная таким образом

$f(x) =\sin(\frac {1}{1-x}) \sqrt{1-(1-x)^2} $

и затем зеркально-симметрично отраженная на (-1,0) - убивает оба определения

Надо бы добавить монотонность. Или не надо бы...

[ewert]

ну и кого эта функция способна убить, будучи в своей супер-пупер-полимодальности?...

------------------------------------------------------------
дело в том, что "исключающее ИЛИ" тут как раз неуместно. Это Вы пытаетесь повторить мою прежнюю ошибку, не замечая в постановке задачи различия между минимумами и максимумами.

[Dan B-Yallay]

ewert писал(а):

ну и кого эта функция способна убить, будучи в своей супер-пупер-полимодальности?...

Не кого, а что.
Эта функция подходит под предлагаемые (и мною тоже! ) определения амодальности, при этом не являясь амодальной. Вот в принципе и все.

[ewert]

предположим, что убивает (хотя это и неправда). Юмор в другом: зачем сочинять функцию с бесконечным к-вом экстремумов, если оба определения локальны по существу?