Условие амодальности функции

[artful7]

Может я неправильно формулирую вопрос, но мне необходимо найти условие амодальности функции с использованием кванторов существования и общности. Как я понимаю, амодальная функция - это функция, не имеющая ни одного максимума на области своего определения, т.е. "края" такой функции являются асимптотами...

[Brukvalub]

artful7 в сообщении #148875 писал(а):

амодальная функция - это функция, не имеющая ни одного максимума на области своего определения

Локального максимума?

[artful7]

О локальности максимума, наверное, сложно говорить, т.к. по краям асимптоты... Т.е. область ее определения некомпактна, если можно так выразиться.

[Brukvalub]

artful7 в сообщении #148882 писал(а):

О локальности максимума, наверное, сложно говорить, т.к. по краям асимптоты... Т.е. область ее определения некомпактна, если можно так выразиться.

Понятие локального экстремума с компактностью области определения и наличием асимптот никак не связано.

[PAV]

$\forall x\in X\, \exists y\in X : f(y) > f(x)$

пойдет ?

($X$ - область определения функции $f$)

[Dan B-Yallay]

PAV писал(а):

$\forall x\in X\, \exists y\in X : f(y) > f(x)$

пойдет ?

($X$ - область определения функции $f$)

Наверное не пойдет, так как любая строго монотонная функция определенная на открытом интервале удовлетворяет этому условию. А нужна асимптота.


Как насчет использовать какую-то часть определения $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=\infty$ ?

[PAV]

artful7 в сообщении #148875 писал(а):

амодальная функция - это функция, не имеющая ни одного максимума на области своего определения

Я записал в кванторах ровно указанное условие. Про асимптоты - это уже было предположение автора вопроса.

[Brukvalub]

PAV в сообщении #148893 писал(а):

Я записал в кванторах ровно указанное условие.

Не уверен. Ваше условие никак не отрицает наличия локальных максимумов, которые в просторечии тоже называются максимумами. Вы написали лишь то, что функция не имеет на о.о. наибольшего значения.

[artful7]

Как насчет такого выражения:
$\[\begin{gathered} \exists x_0 \in X,\;\overline \forall x_1 ,\;x_2 \in X: \\ \left[ {x_0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \Rightarrow X\left( {x_0 } \right) \leqslant X\left( {x_1 } \right) \geqslant X\left( {x_2 } \right),} \right. \\ \left. {x_0 \geqslant x_1 \geqslant x_2 \Rightarrow X\left( {x_0 } \right) \leqslant X\left( {x_1 } \right) \geqslant X\left( {x_2 } \right)} \right], \\ \end{gathered} \]$

[PAV]

Brukvalub в сообщении #148895 писал(а):

Не уверен. Ваше условие никак не отрицает наличия локальных максимумов, которые в просторечии тоже называются максимумами. Вы написали лишь то, что функция не имеет на о.о. наибольшего значения.

Да, это действительно так. Мне казалось, что термин "мода" обозначает глобальный максимум. Сейчас проверил в справочнике - написано, что локальный.

artful7 в сообщении #148905 писал(а):

Как насчет такого выражения:

Нет, $\overline{\forall}$ - так не пишут. И вообще, по-моему, неправильно. Выразите в кванторах утверждение, что в любой окрестности любой точки найдется другая точка, в которой значение функции больше.

[ewert]

artful7 писал(а):

Может я неправильно формулирую вопрос, но мне необходимо найти условие амодальности функции с использованием кванторов существования и общности. Как я понимаю, амодальная функция - это функция, не имеющая ни одного максимума на области своего определения, т.е. "края" такой функции являются асимптотами...

Как я понял, речь о функции одной переменной? Тогда так:

$$(\forall x\in X)\ (\forall \varepsilon>0)\ \exists x_1\in(x-\varepsilon;x)\cap X,\ \exists x_2\in(x;x+\varepsilon)\cap X:\ (f(x_1)-f(x))\cdot(f(x_2-f(x))<0$$

[PAV]

ewert писал(а):

Как я понял, речь о функции одной переменной? Тогда так:

$$(\forall x\in X)\ (\forall \varepsilon>0)\ \exists x_1\in(x-\varepsilon;x)\cap X,\ \exists x_2\in(x;x+\varepsilon)\cap X:\ (f(x_1)-f(x))\cdot(f(x_2-f(x))<0$$

Зачем так сложно? Кроме того, это условие зачем-то запрещает локальные минимумы.

[ewert]

artful7 писал(а):

Как насчет такого выражения:
$\[\begin{gathered} \exists x_0 \in X,\end{gathered} \]$

Достаточно, это уже не годится. Утверждение в любом случае должно начинаться с "для любого". Ибо утверждается, что любая точка не есть экстремум.

Добавлено спустя 16 минут 59 секунд:

Re: Условие амодальности функции

PAV писал(а):

ewert писал(а):

Как я понял, речь о функции одной переменной? Тогда так:

$$(\forall x\in X)\ (\forall \varepsilon>0)\ \exists x_1\in(x-\varepsilon;x)\cap X,\ \exists x_2\in(x;x+\varepsilon)\cap X:\ (f(x_1)-f(x))\cdot(f(x_2-f(x))<0$$

Зачем так сложно? Кроме того, это условие зачем-то запрещает локальные минимумы.

Куда уж проще-то?

Насчёт минимумов я только что и сам подумал. Действительно, последнее утверждение следует заменить на $(f(x_1)>f(x))\ \vee\ (f(x_2>f(x))$. Как-то вылетело из головы, что мода -- это именно максимум.

А вылетело потому, что для меня понятие моды ассоциируется только с плотностью вероятности или рядом распределения, для которых амодальность вообще бессмысленна.

[PAV]

Я не понимаю, зачем вводить две переменных $x_1$ и $x_2$. Можно взять одну, лежащую где-то в двусторонней окрестности.

[ewert]

ну, не просто двусторонней, а ещё и выколотой, так что запись всё равно длинная (хотя и короче). И потом -- я же сказал, что забыл про минимумы, а для просто экстремумов одной точкой не отделаешься.