Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[vicvolf]

Кубилюс расширяет класс сильно аддитивных функций и рассматривает класс H арифметических функций.

Пусть $f(m) \in H$ и $q^b$ - последовательность целых положительных степеней простых чисел, такая что: $\sum_b {1/q^b$ - сходится (6).

Определим другую аддитивную функцию $f^{*}(m)$, полагая $f(p^b)=f^{*}(p^a)$ для всех $p^a$, отличных от $q^b$. Для чисел $q^b$ пусть $f^{*}(q^b)$ - пробегает любые значения. Тогда предельные законы: $P_n(\frac {f(m)-A_n}{D_n}<x)$ и $P_n(\frac {f^{*}(m)-A_n}{D_n}<x)$ существуют и совпадают.

В частности в качестве $f^{*}(m)$ можно взять сильно аддитивную арифметическую функцию, связанную с $f(m)$ соотношением $f^{*}(p^a)=f(p)(a=1,2,...)$ для всех простых $p$ при $n \to \infty$.

Рассмотрим арифметические функции, которые, как было доказано Кубилюс, относятся к классу $H$.

Арифметическая функция количества делителей числа $m$ с учетом кратности - $\Omega(m)$. Данная арифметическая функция при всех простых значениях $p$ совпадает с сильно аддитивной функцией $\omega(m)$, т.е. $\Omega(p)=\omega(p)$. Поэтому совпадают асимптотики среднего значения и дисперсии $E[\Omega,n]=D[\Omega,n] \to \ln\ln(n)+O(1)$.

Учитывая, что арифметическая функция $\Omega(m),m=1,2,...,n$ при $n \to \infty$ стремится к нормальному распределению с аналогичными характеристиками, как сильно аддитивная функцией $\omega(m)$, то совпадают все остальные характеристики арифметических функций. Поэтому асимптотики всех центральных моментов арифметической функции $\Omega(m),m=1,2,...,n$ также равны $\ln\ln(n)+O(1)$.

Арифметические функции количества простых делителей, находящихся на последовательностях $4k+1,4k-1$ соответственно: $\omega_1(m),\omega_2(m)$ также имеют предельными нормальное распределение с асимптотикой средних значенией и дисперсий равными $0,5\ln\ln(n)+O(1)$. Поэтому совпадают все остальные характеристики данных арифметических функций, включая центральные моменты высоких порядков.

Для последовательностей случайных величин, которые мы строим, оставим старые обозначения. Рассмотрим случайную величину $X_p$, принимающую два значения: $X_p=1$ с вероятностью $P(X_p=1)=1/2p$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-1/2p$. Тогда среднее значение $E[x_p]=1/2p$ и дисперсия $D[X_p]=1/2p-1/4p^2$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} {X_p}$, где $X_p$ - независимые случайные величины. Тогда асимптотики среднего значения и дисперсии данной случайной величины соответственно равны: $E[S,n]=1/2\sum_{p \leq n} {1/p}=1/2 \ln\ln(n)+O(1)$, $D[S,n]=1/2\sum_{p \leq n} {1/p}-1/4\sum_{p \leq n} {1/p^2}=\ln\ln(n)+O(1)$, так как ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {1/p^2}$ - сходится.

Таким образом, среднее значение, дисперсия и их асимптотики у последовательности случайных величин $S_1,S_2,...S_n$ совпадают со средним значением, дисперсией и асимптотикой арифметических функций $\omega_1(m),\omega_2(m)$ при $n \to \infty$. Учитывая, что последовательность случайных величин $S_1,S_2,...S_n$ на основании ЦПТ также стремится к нормальному распределению, как арифметические функции $\omega_1(m),\omega_2(m)$ при $n \to \infty$, то предельные функции распределения у них совпадают, а следовательно совпадают все остальные характеристики.

Определим асимптотики центральных моментов более высоких порядков у арифметических функций $\omega_1(m),\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

Сначала определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $X_p$:

$E[(X_p-1/2p)^k]=(1-1/2p)^k \frac {1}{2p}+(-1/2p)^k(1-1/2p)=1/2p+O(1/p^2)$.

Теперь определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $S_n$:

$\sum_{p \leq n} {E[(X_p-1/2p)^k]}=\sum_{p \leq n} {1/2p}+O(\sum_{p \leq n} {1/p^2})=1/2\ln\ln(n)+O(1)$, (7) так как ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {1/p^2}$ - сходится.

Рассмотрим еще одну аддитивную арифметическую функцию $\omega_1(m)-\omega_2(m)$. Доказано, что данная арифметическая функция имеет предельным при $n \to \infty$ нормальное распределение со средним значением равным 0 и дисперсией $0,5\ln\ln(n)+O(1)$.

Определим асимптотики центральных моментов более высоких порядков у арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

В качестве $X_p$ рассмотрим случайную величину, принимающее значение $X_p=1/\sqrt {2p}$ с вероятностью $P(X_p=1/\sqrt {2p})=1/2$ и значение $X_p=-1/\sqrt {2p}$ с вероятностью $P(X_p=-1/\sqrt {2p})=1/2$.

Тогда среднее значение $E[X_p]=0$, а дисперсия $D[X_p]=E[X_p^2]=1/2(\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p})=\frac{1}{2p}$.

Возьмем в качестве случайной величины $S_n=\sum_{p \leq n} {X_p}$, где все $X_p$ независимы.

Тогда среднее значение $E[S,n]=0$, а дисперсия $D[S,n]=\sum_{p \leq n} {\frac{1}{2p}}=0,5\ln\ln(n)+O(1)$, т.е равны среднему значению и дисперсии арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

Учитывая, что на основании ЦПТ последовательность случайных величин $S_1,S_2,...$ стремится к нормальному распределению при $n \to \infty$, предельные распределения последовательности случайных величин $S_1,S_2,...$ и арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..$ совпадают, а следовательно совпадают асимптотики всех их харектиристик.

Определим асимптотики центральных моментов более высоких порядков у арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

Сначала определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $X_p$:

$E[(X_p)^k]=1/2((\frac {1}{\sqrt{2p}})^k+(-\frac {1}{\sqrt{2p}})^k)$.

При нечетном $k$ значение $E[(X_p)^k]=0$, а при четном $k$ значение $E[(X_p)^k]=(1/2p)^{k/2}$.

Теперь определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $S_n$.

При нечетном $k$ значение $E[(S_n)^k]=0$, а при четном $k$ значение $E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)^{k/2}}$. При $k=2$ - $D[S,n]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)}=0,5\ln\ln(n)+O(1)$.
При $k>2$ - $E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)^{k/2}}=O(1)$, так как при $k>2$ ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {(1/2p)^{k/2}}$ - сходится.

[vicvolf]

alisa-lebovski Хотелось бы узнать Ваше мнение по последним двум сообщениям?

[vicvolf]

Напомню, что сильно аддитивная арифметическая функция $f(m),m=1,2,...,n$ имеет предельное нормальное распределение при $n \to \infty$, если $|f(p)| \leq 1$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$.

Следуя Кубилюс введем случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} {X_p}$, где $X_p$ - независимые случайные величины, которая имеет предельное нормальное распределение, как сильно аддитивная арифметическая функция $f(m),m=1,2,...,n$ при $n \to \infty$ в указанном выше случае.

Случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$. Тогда,$E[X_p]=f(p)/p,D[X_p]=f^2(p)/p-f^2(p)/p^2,$. Поэтому получим:

$$E[S,n]=\sum_{p \leq n} {\frac{f(p)}{p}},D[S,n]=\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}-\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p^2}}.(8)$$

При $0 \leq f(p) \leq 1$ ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f^2(p)}{p^2}} \leq \sum_{p=2}^{\infty} {1/p^2}$ -сходится, поэтому на основании (8): $\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}-\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p^2}}=\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}+O(1)$. (9)

Туран доказал, что если для сильно аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,2,...,n$ выполняется: $0 \leq f(p) \leq c$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, то при $n \to \infty, E[f,n]=D[f,n]$ (10).

Таким образом, при $0 \leq f(p) \leq 1$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, на основании (8),(9),(10) получим:

$$\sum_{p \leq n} {\frac{f(p)}{p}}=\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}+O(1).(11)$$

Для выполнения условия (11) необходимо, чтобы сходился ряд:

$$\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f(p)(1-f(p))}{p}}.(12)$$

С другой стороны, так как $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, то для выполнения (11) требуется, чтобы расходились ряды:

$$\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f(p)}{p}},\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f^2(p)}{p}}.(13)$$

Если для всех простых $p$ значение $f(p)=0$, то для данной сильно аддитивной арифметической функции выполняется условие (12), но не выполняется условие (13).

Напомню, что по определению сильно аддитивной арифметической функцией называется арифметичесмкая функция, для которой справедливо $f(p^a)=f(p)$.

Поэтому для произвольного натурального числа $m=p_1^{a_1}...p_t^{a_t}$ для сильно аддитивной функции имеем:

$$f(m)=f(p_1^{a_1}...p_t^{a_t})=f(p_1^{a_1})+...+f(p_t^{a_t})=f(p_1)+...+f(p_t)=\sum_{p|m}{f(p)}.(14)$$

Рассмотрим примеры сильно аддитивных арифметические функций, которые удовлетворяют, как условию (12), так и (13).

1. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_1(m)$ при всех простых $p$ значение $f_1(p)=1$, тогда выполняются как условие (12), так и (13). В этом случае асимптотика среднего значения сильно аддитивной арифметической функции равна:

$$\sum_{p \leq n} {\frac{1}{p}}=\ln\ln(n)+O(1).(15)$$

Формула (15) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_1(m)$. $f_1(m)$ - это количество простых делителей числа $m - \omega(m)$.

2. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_2(m)$ при простых $q_1,q_2,...,q_l$ значения $f_2(q_j)=0$, а для остальных простых чисел - $f_2(p)=1$. Тогда $\sum_{j=1}^l {f_2(q_j)}=0$. Поэтому асимптотика среднего значения $f_2(m)$ отличается от асимптотики (15) на $O(1)$ и также определяется формулой (15). Следовательно, выполняются условия (12) и (13). Формула (15) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_2(m)$. $f_2(m)$ - это количество простых делителей у натурального $m$, кроме простых делителей $q_1,q_2,...,q_l$.

3. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_3(m)$ при простых $p_1,p_2,...,p_k$ значения $0<f_3(p_i)<1$, а для остальных простых чисел - $f_3(p)=1$. Тогда $\sum_{i=1}^k {f_3(p_i)}<C_1$, где $C_1$ - постоянная. Поэтому асимптотика среднего значения $f_3(m)$ отличается от асимптотики (15) на $O(1)$ и также определяется по формуле (15). Следовательно, выполняются условия (12) и (13). Формула (15) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_3(m)$.$f_3(m)$ - это количество простых делителей у натурального $m$, где вместо $f(p)=1$ в сумме (14) для простых делителей $p_1,p_2,...,p_l$ подставлено постоянное число меньше 1, но больше 0.

4. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_4(m)$ при простых числах с нечетными номерами $p_1,p_3,...p_{2k+1}$ значения $f_4(p_{2k+1})=0$, а для простых чисел c четными номерами $p_2,p_4,...p_{2k}$ значения $f_4(p_{2k})=1$. Тогда асимптотика среднего значения $f_4(m)$ равна:

$$\sum_{p_{2k}<n} {1/p_{2k}}=0,5\ln\ln(n)+O(1).(16)$$

Следовательно, выполняются условия (12) и (13). Формула (16) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_4(m)$. $f_4(m)$ - это количество простых делителей с четными номерами у натурального $m$.

Во всех указанных примерах (1-4) сильно аддитивные функции удовлетворяют условиям: $|f(p)| \leq 1$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, поэтому имеют предельным нормальное распределение.

[alisa-lebovski]

Давно не отвечала, у меня начался учебный год. Ваши новые посты сложноваты для проверки, но вполне возможно, по сути верны. Хотя, возможно, требуют более строгих доказательств. Мне кажется, Вам лучше было бы связаться с настоящими специалистами по вероятностной теории чисел.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1485376 писал(а):

Мне кажется, Вам лучше было бы связаться с настоящими специалистами по вероятностной теории чисел.

А где же его взять? Я надеялся на форум. Может Вы дадите рекомендацию?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1486538 писал(а):

А где же его взять? Я надеялся на форум. Может Вы дадите рекомендацию?

Как насчет Буфетова Алексея Игоревича - http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... onid=52109

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1486570 писал(а):

Как насчет Буфетова Алексея Игоревича - http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... onid=52109

Очень бы хотелось бы пообщаться с таким знающим человеком. Но вряд ли он обратит внимание на незнакомца. Может Вы или кто-то форуме знает его?

[alisa-lebovski]

Я лично не знаю. Но Вы попробуйте, попытка - не пытка.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1490315 писал(а):

Тогда $\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)}{y(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)-x(n-1))}{y(n)-y(n-1)}$, если существует предел справа (конечный или бесконечный).

У этой теоремы есть интересное следствие: $\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$, если существует предел справа. Последнее важно.
Приведу пример. Известно, что для функции Мертенса справедливо: $M(n)=\sum_{i=1}^n {\mu(i)}=o(n)$. Поэтому $\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n {\mu(i)}}{n}}=0$. Но на основании этого не следует, что $\lim_{n \to \infty} {\mu(n)}=0$, так как данный предел не существует.

[vicvolf]

alisa-lebovski

vicvolf в сообщении #1490593 писал(а):

У этой теоремы есть интересное следствие: $\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$, если существует предел справа.

В этом следствии не важна природа последовательности. Следствие применимо как к детерминированным, так и случайным последовательностям.

Конечно более интересен случай, когда существует $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$. Для краткости введем обозначение для среднего значения последовательности на интервале $[1,n]$ - $E[x,n]=\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}$.

Пусть существует $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$, тогда:

1. Если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}=0$, то отсюда вытекает: $E[x,n]=x(n)=o(1)$.

2. Если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ не равен нулю, то разделим на него и получим: $\frac {\lim_{n \to \infty}E[x,n]}{\lim_{n \to \infty} x(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac {E[x,n]}{x(n)}=1$ или $E[x,n] \sim x(n)$.

Например, для арифметической функции количества простых делителей натурального числа $\lim_{n \to \infty} \omega(n)$ существует и равен бесконечности, поэтому имеем: $\omega(n) \sim \ln\ln(n), E[\omega,n] \sim \ln\ln(n)$.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1490948 писал(а):

существует и равен бесконечности

Нет, "равен бесконечности" в этой теореме это НЕ "существует". Можно указать контрпримеры, где такая асимптотика не работает, хотя бы $x(n)=n$. То, что для $\omega(n)$ получается, следует из медленного роста этой функции.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1490948 писал(а):

для арифметической функции количества простых делителей натурального числа $\lim_{n \to \infty} \omega(n)$ существует и равен бесконечности

И откуда Вы такое берете?

[vicvolf]

nnosipov
По определению существует предел числовой последовательности равный бесконечности. Откуда Вы берете, что такого предела не существует?

[nnosipov]

vicvolf
То есть, Вы утверждаете, что предел последовательности $\omega(n)$ при $n \to \infty$ существует и равен бесконечности? И при этом $\omega(n)$ --- это число простых делителей числа $n$?

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1490954 писал(а):

Нет, "равен бесконечности" в этой теореме это НЕ "существует". Можно указать контрпримеры, где такая асимптотика не работает, хотя бы $x(n)=n$.

Да, я вижу много контрпримеров, но не пойму, где ошибка в доказательстве, ведь теорема Штольца допускает случай, когда предел последовательности $x(n)$ равен бесконечности. Она в основном и предназначена для рассмотрения предела отношения последовательностей $x(n),y(n)$, который является неопределенностью вида $\frac {\infty}{\infty}$.

nnosipov в сообщении #1491018 писал(а):

vicvolf
То есть, Вы утверждаете, что предел последовательности $\omega(n)$ при $n \to \infty$ существует и равен бесконечности? И при этом $\omega(n)$ --- это число простых делителей числа $n$?

Арифметическая функция $\omega(n)$ колеблется в больших пределах около своего среднего значения при $n \to \infty$, поэтому данный предел не существует и пример не верен.