2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение15.09.2020, 11:29 


23/02/12
2191
Кубилюс расширяет класс сильно аддитивных функций и рассматривает класс H арифметических функций.

Пусть $f(m) \in H$ и $q^b$ - последовательность целых положительных степеней простых чисел, такая что: $\sum_b {1/q^b$ - сходится (6).

Определим другую аддитивную функцию $f^{*}(m)$, полагая $f(p^b)=f^{*}(p^a)$ для всех $p^a$, отличных от $q^b$. Для чисел $q^b$ пусть $f^{*}(q^b)$ - пробегает любые значения. Тогда предельные законы: $P_n(\frac {f(m)-A_n}{D_n}<x)$ и $P_n(\frac {f^{*}(m)-A_n}{D_n}<x)$ существуют и совпадают.

В частности в качестве $f^{*}(m)$ можно взять сильно аддитивную арифметическую функцию, связанную с $f(m)$ соотношением $f^{*}(p^a)=f(p)(a=1,2,...)$ для всех простых $p$ при $n \to \infty$.

Рассмотрим арифметические функции, которые, как было доказано Кубилюс, относятся к классу $H$.

Арифметическая функция количества делителей числа $m$ с учетом кратности - $\Omega(m)$. Данная арифметическая функция при всех простых значениях $p$ совпадает с сильно аддитивной функцией $\omega(m)$, т.е. $\Omega(p)=\omega(p)$. Поэтому совпадают асимптотики среднего значения и дисперсии $E[\Omega,n]=D[\Omega,n] \to \ln\ln(n)+O(1)$.

Учитывая, что арифметическая функция $\Omega(m),m=1,2,...,n$ при $n \to \infty$ стремится к нормальному распределению с аналогичными характеристиками, как сильно аддитивная функцией $\omega(m)$, то совпадают все остальные характеристики арифметических функций. Поэтому асимптотики всех центральных моментов арифметической функции $\Omega(m),m=1,2,...,n$ также равны $\ln\ln(n)+O(1)$.

Арифметические функции количества простых делителей, находящихся на последовательностях $4k+1,4k-1$ соответственно: $\omega_1(m),\omega_2(m)$ также имеют предельными нормальное распределение с асимптотикой средних значенией и дисперсий равными $0,5\ln\ln(n)+O(1)$. Поэтому совпадают все остальные характеристики данных арифметических функций, включая центральные моменты высоких порядков.

Для последовательностей случайных величин, которые мы строим, оставим старые обозначения. Рассмотрим случайную величину $X_p$, принимающую два значения: $X_p=1$ с вероятностью $P(X_p=1)=1/2p$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-1/2p$. Тогда среднее значение $E[x_p]=1/2p$ и дисперсия $D[X_p]=1/2p-1/4p^2$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} {X_p}$, где $X_p$ - независимые случайные величины. Тогда асимптотики среднего значения и дисперсии данной случайной величины соответственно равны: $E[S,n]=1/2\sum_{p \leq n} {1/p}=1/2 \ln\ln(n)+O(1)$, $D[S,n]=1/2\sum_{p \leq n} {1/p}-1/4\sum_{p \leq n} {1/p^2}=\ln\ln(n)+O(1)$, так как ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {1/p^2}$ - сходится.

Таким образом, среднее значение, дисперсия и их асимптотики у последовательности случайных величин $S_1,S_2,...S_n$ совпадают со средним значением, дисперсией и асимптотикой арифметических функций $\omega_1(m),\omega_2(m)$ при $n \to \infty$. Учитывая, что последовательность случайных величин $S_1,S_2,...S_n$ на основании ЦПТ также стремится к нормальному распределению, как арифметические функции $\omega_1(m),\omega_2(m)$ при $n \to \infty$, то предельные функции распределения у них совпадают, а следовательно совпадают все остальные характеристики.

Определим асимптотики центральных моментов более высоких порядков у арифметических функций $\omega_1(m),\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

Сначала определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $X_p$:

$E[(X_p-1/2p)^k]=(1-1/2p)^k \frac {1}{2p}+(-1/2p)^k(1-1/2p)=1/2p+O(1/p^2)$.

Теперь определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $S_n$:

$\sum_{p \leq n} {E[(X_p-1/2p)^k]}=\sum_{p \leq n} {1/2p}+O(\sum_{p \leq n} {1/p^2})=1/2\ln\ln(n)+O(1)$, (7) так как ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {1/p^2}$ - сходится.

Рассмотрим еще одну аддитивную арифметическую функцию $\omega_1(m)-\omega_2(m)$. Доказано, что данная арифметическая функция имеет предельным при $n \to \infty$ нормальное распределение со средним значением равным 0 и дисперсией $0,5\ln\ln(n)+O(1)$.

Определим асимптотики центральных моментов более высоких порядков у арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

В качестве $X_p$ рассмотрим случайную величину, принимающее значение $X_p=1/\sqrt {2p}$ с вероятностью $P(X_p=1/\sqrt {2p})=1/2$ и значение $X_p=-1/\sqrt {2p}$ с вероятностью $P(X_p=-1/\sqrt {2p})=1/2$.

Тогда среднее значение $E[X_p]=0$, а дисперсия $D[X_p]=E[X_p^2]=1/2(\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p})=\frac{1}{2p}$.

Возьмем в качестве случайной величины $S_n=\sum_{p \leq n} {X_p}$, где все $X_p$ независимы.

Тогда среднее значение $E[S,n]=0$, а дисперсия $D[S,n]=\sum_{p \leq n} {\frac{1}{2p}}=0,5\ln\ln(n)+O(1)$, т.е равны среднему значению и дисперсии арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

Учитывая, что на основании ЦПТ последовательность случайных величин $S_1,S_2,...$ стремится к нормальному распределению при $n \to \infty$, предельные распределения последовательности случайных величин $S_1,S_2,...$ и арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..$ совпадают, а следовательно совпадают асимптотики всех их харектиристик.

Определим асимптотики центральных моментов более высоких порядков у арифметической функции $\omega_1(m)-\omega_2(m), m=1,2,..,n$ при $n \to \infty$.

Сначала определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $X_p$:

$E[(X_p)^k]=1/2((\frac {1}{\sqrt{2p}})^k+(-\frac {1}{\sqrt{2p}})^k)$.

При нечетном $k$ значение $E[(X_p)^k]=0$, а при четном $k$ значение $E[(X_p)^k]=(1/2p)^{k/2}$.

Теперь определим асимптотику центральных моментов $k$ -ого порядка случайной $S_n$.

При нечетном $k$ значение $E[(S_n)^k]=0$, а при четном $k$ значение $E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)^{k/2}}$. При $k=2$ - $D[S,n]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)}=0,5\ln\ln(n)+O(1)$.
При $k>2$ - $E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} {(1/2p)^{k/2}}=O(1)$, так как при $k>2$ ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {(1/2p)^{k/2}}$ - сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение21.09.2020, 17:03 


23/02/12
2191
alisa-lebovski Хотелось бы узнать Ваше мнение по последним двум сообщениям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение24.09.2020, 10:25 


23/02/12
2191
Напомню, что сильно аддитивная арифметическая функция $f(m),m=1,2,...,n$ имеет предельное нормальное распределение при $n \to \infty$, если $|f(p)| \leq 1$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$.

Следуя Кубилюс введем случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} {X_p}$, где $X_p$ - независимые случайные величины, которая имеет предельное нормальное распределение, как сильно аддитивная арифметическая функция $f(m),m=1,2,...,n$ при $n \to \infty$ в указанном выше случае.

Случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$. Тогда,$E[X_p]=f(p)/p,D[X_p]=f^2(p)/p-f^2(p)/p^2,$. Поэтому получим:$$E[S,n]=\sum_{p \leq n} {\frac{f(p)}{p}},D[S,n]=\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}-\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p^2}}.(8)$$

При $0 \leq f(p) \leq 1$ ряд $\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f^2(p)}{p^2}} \leq \sum_{p=2}^{\infty} {1/p^2}$ -сходится, поэтому на основании (8): $\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}-\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p^2}}=\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}+O(1)$. (9)

Туран доказал, что если для сильно аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,2,...,n$ выполняется: $0 \leq f(p) \leq c$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, то при $n \to \infty, E[f,n]=D[f,n]$ (10).

Таким образом, при $0 \leq f(p) \leq 1$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, на основании (8),(9),(10) получим: $$\sum_{p \leq n} {\frac{f(p)}{p}}=\sum_{p \leq n} {\frac{f^2(p)}{p}}+O(1).(11)$$

Для выполнения условия (11) необходимо, чтобы сходился ряд: $$\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f(p)(1-f(p))}{p}}.(12)$$
С другой стороны, так как $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, то для выполнения (11) требуется, чтобы расходились ряды:$$\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f(p)}{p}},\sum_{p =2}^{\infty} {\frac{f^2(p)}{p}}.(13)$$
Если для всех простых $p$ значение $f(p)=0$, то для данной сильно аддитивной арифметической функции выполняется условие (12), но не выполняется условие (13).

Напомню, что по определению сильно аддитивной арифметической функцией называется арифметичесмкая функция, для которой справедливо $f(p^a)=f(p)$.

Поэтому для произвольного натурального числа $m=p_1^{a_1}...p_t^{a_t}$ для сильно аддитивной функции имеем: $$f(m)=f(p_1^{a_1}...p_t^{a_t})=f(p_1^{a_1})+...+f(p_t^{a_t})=f(p_1)+...+f(p_t)=\sum_{p|m}{f(p)}.(14)$$Рассмотрим примеры сильно аддитивных арифметические функций, которые удовлетворяют, как условию (12), так и (13).

1. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_1(m)$ при всех простых $p$ значение $f_1(p)=1$, тогда выполняются как условие (12), так и (13). В этом случае асимптотика среднего значения сильно аддитивной арифметической функции равна: $$\sum_{p \leq n} {\frac{1}{p}}=\ln\ln(n)+O(1).(15)$$ Формула (15) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_1(m)$. $f_1(m)$ - это количество простых делителей числа $m - \omega(m)$.

2. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_2(m)$ при простых $q_1,q_2,...,q_l$ значения $f_2(q_j)=0$, а для остальных простых чисел - $f_2(p)=1$. Тогда $\sum_{j=1}^l {f_2(q_j)}=0$. Поэтому асимптотика среднего значения $f_2(m)$ отличается от асимптотики (15) на $O(1)$ и также определяется формулой (15). Следовательно, выполняются условия (12) и (13). Формула (15) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_2(m)$. $f_2(m)$ - это количество простых делителей у натурального $m$, кроме простых делителей $q_1,q_2,...,q_l$.

3. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_3(m)$ при простых $p_1,p_2,...,p_k$ значения $0<f_3(p_i)<1$, а для остальных простых чисел - $f_3(p)=1$. Тогда $\sum_{i=1}^k {f_3(p_i)}<C_1$, где $C_1$ - постоянная. Поэтому асимптотика среднего значения $f_3(m)$ отличается от асимптотики (15) на $O(1)$ и также определяется по формуле (15). Следовательно, выполняются условия (12) и (13). Формула (15) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_3(m)$.$f_3(m)$ - это количество простых делителей у натурального $m$, где вместо $f(p)=1$ в сумме (14) для простых делителей $p_1,p_2,...,p_l$ подставлено постоянное число меньше 1, но больше 0.

4. Пусть для сильно аддитивной арифметической функции $f_4(m)$ при простых числах с нечетными номерами $p_1,p_3,...p_{2k+1}$ значения $f_4(p_{2k+1})=0$, а для простых чисел c четными номерами $p_2,p_4,...p_{2k}$ значения $f_4(p_{2k})=1$. Тогда асимптотика среднего значения $f_4(m)$ равна: $$\sum_{p_{2k}<n} {1/p_{2k}}=0,5\ln\ln(n)+O(1).(16)$$ Следовательно, выполняются условия (12) и (13). Формула (16) справедлива также для асимптотики дисперсии $f_4(m)$. $f_4(m)$ - это количество простых делителей с четными номерами у натурального $m$.

Во всех указанных примерах (1-4) сильно аддитивные функции удовлетворяют условиям: $|f(p)| \leq 1$ и $E[f,n] \to \infty, n \to \infty$, поэтому имеют предельным нормальное распределение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 138 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group