Катушка конечных размеров и кольцо.

[profilescit]

A cylindrical solenoid with an iron core, of cross-section radius $r$, is placed vertically on a
table. A thin metallic toroidal ring, of inner radius $r$, is placed around the lower end of the coil, so
that the inner circumference of the ring is in contact with the surface of the coil. The resistance of
the ring is $R$, its mass is $m$ and its inductance is $L$.

The solenoid is connected to an alternating voltage source of angular frequency $\omega$. This
leads to a vertical, homogenous, sinusoidally oscillating magnetic field of amplitude inside the
coil $B_{0}$; its orientation is such that, at $t = 0$ (i. e. at the initial time), it points upwards (along the axis
that I will further denote by $z$). Apart from this, the finite length of the solenoid leads to a radial,
horizontal, oscillating magnetic field, of amplitude $B_{r}(z) \lll B_{0}$ which depends only on the height $z$
from the base of the coil and with an orientation such that, at $t = 0$, it points outwards.
It turns out that, if the magnetic field is strong enough, the ring will start floating.

(a) What is the value of $B_{r}$ for which the ring will float at a constant height?

Remark: The oscillations of the magnetic field are fast enough for the motion of the ring during a
single period of oscillation to be insignificant.

Привел оригинал текста задачи, а то иногда есть определенная путаница из за моего перевода.


Моя попытка решения заключается в следующем:
Индукция магнитного поля на оси катушки будут $B = \mu n I$ где $I = I_{0} \sin{(\omega t + \varphi_{0})}$, $n = \frac{1}{2 r}$, что спорно, ибо так мы пренебрегаем конечными размерами катушки.

Полное сопротивление катушки будет $Z = \sqrt{R^2_{0} + \omega^2 L^2_{0}}$
где $R_{0} = \frac{\rho d}{A}$ сопротивление катушки (пусть у нее будет высота $d = 2 r N$, $N$ - число витков)

Так-же, можем использовать закон сохранения потока вектора индукции магнитного поля.
$\varPhi_{(z)} - \varPhi_{(z + dz)} = B_{r}(z) 2 \pi r dz$

Пока что не могу понять в каком направлении двигаться дальше для решения задачи.

[EUgeneUS]

Шаг 1:
Переменный магнитный поток, проходящий через кольцо, будет создавать в кольце переменный ток.
Нужно найти этот ток.

[profilescit]

EugeneUS
$I = -\frac{A}{R}\frac{dB}{dt}$

[EUgeneUS]

profilescit
1. Что такое $A$?
2. Ток переменный, гармонический. Описывается уравнением $I = I_0 \sin (\omega t + \varphi)$, нужно найти все три параметра (так-то два, с третьим очевидно).

[profilescit]

1. $A = \pi r^2$
2. $I_{0} = \frac{A B_{0} \omega}{R}$, а $\varphi$ не понимаю как найти, ибо мы знаем только направление тока в начальный момент. Думаю что не суть важно?

[EUgeneUS]

1. Площадь принято обозначать буквой $S$
2. Неверно. Кроме того, $\varphi$ найти нужно (достаточно будет найти $\tg \varphi$).

[profilescit]

Понял
В таком случае $I_0 = \frac{B_{0} \omega S}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ и $ \tg{\varphi} = \frac{L}{R}$

[EUgeneUS]

В тангенсе фи - ошибка, даже две.
Как найдете, шаг 2

В магнитом поле находится проводник с током, магнитное поле и ток известны, какая сила действует на проводник?
Можно (лучше) сразу считать проекцию силы на вертикальную ось.
Не забыть, что и поле, и ток - переменные, со сдвигом по фазе.

[profilescit]

EUgeneUS, $\tg{\varphi} = \frac{\omega L}{R}$

Касательно второго шага: $\vec{dF} = \vec{B} \times \vec{dl} I$
Однако в случае нашего кольца силы всегда направлена к или от центра кольца, не понимаю где брать вертикальную проекцию.
(В предположении что вектор магнитной индукции всегда направлен вдоль оси $z$)

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1490586 писал(а):

$\tg{\varphi} = \frac{\omega L}{R}$

Если память не изменяет, там ещё минус д.б.

profilescit в сообщении #1490586 писал(а):

(В предположении что вектор магнитной индукции всегда направлен вдоль оси $z$)

Это неверное предположение. Прочитайте внимательно условие.

[profilescit]

В таком случае получил ответ $F = 2 \pi r I(t) B_{r}(z)$
Действовал так:
Пусть вектор индукции магнитного поля будет векторной суммой вертикальной и радиальной проекции $B' = \sqrt{B(t)^2 + B_{r}(z)^2}$

$F = B' 2 \pi r I(t) \cos{\theta}$ где $\cos{\theta} = \frac{B_{r}(z)}{B'}$

[profilescit]

Конечный ответ получается $F = \frac{2 \pi^2 r^3 \omega B_{0} B_{r}(z)}{\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}} \sin{(\omega t + \varphi)}$
Последний вопрос остается, приравнять амплитуду силы к силы тяжести или же ее среднее значение за половину периода?

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1490626 писал(а):

Конечный ответ получается $F = \frac{2 \pi^2 r^3 \omega B_{0} B_{r}(z)}{\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}} \sin{(\omega t + \varphi)}$

То, что перед синусом - верно. Но ответ (для шага 2) неверный.

И так у Вас есть:

profilescit в сообщении #1490611 писал(а):

$F = 2 \pi r I(t) B_{r}(z)$

На самом деле, правильно так: $F = 2 \pi r I(t) B_{r}(z, t)$ , так как радиальное поле тоже переменное (0)
Запишите выражения:
1. $B_r(t) = ...$ (это чтобы зафиксировать фазу в $t=0$)
2. $I(t) = ...$ (Это вы уже нашли)
3. $B_r(t)$ (при каком-то фиксированном $z$). Это легко сообразить, потому что $B_r$ создается тем же током в соленоиде, что и $B_z$.

После чего (2) и (3) подставьте в (0)

-- 04.11.2020, 10:59 --

UPD: сразу скажу, какой будет третий шаг: нужно усреднить силу по времени (за период). В Вашем промежуточном результате (для второго шага) средняя сила будет ноль.

-- 04.11.2020, 11:00 --

UPD2 а потом будет вишенка на торте

(Оффтоп)

дело в том, что в задаче описывается физически невозможная ситуация . Если правильно перевел условие, конечно.

[profilescit]

$B_{r}(z,t) = B_{r}(z)\sin{(\omega t + \varphi)}$
То есть будет $F = F_{0} \sin^2{(\omega t + \varphi)}$ и среднее значение за период $< F > = \frac{F_{0}}{2}$
где $F_{0}$ это амплитуда силы которую я записал ранее?

[EUgeneUS]

profilescit
Сделайте, пожалуйста, по шагам.
Начиная от $B_z(t)=$ - это надо было раньше прописать, вообще-то.