Катушка конечных размеров и кольцо.

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1490833 писал(а):

Используя закон сохранения потока вектора магнитной индукции,
$\varPhi_{z} - \varPhi_{z+dz} = 2 \pi r B_{r}(z)$
приходим к выводу что $-\frac{d B_{z}(z)}{dz} = \frac{2}{r} B_{r}(z)$
Правильны ли эти рассуждения?

К выводу-то правильному приходите. Но с опечатками. Понятно, что рассматриваем цилиндр, конечного радиуса с осью, совпадающей с осью соленоида.
Тогда, считая поле в основании почти однородным, то есть считая, $B_z$ не зависит от радиуса, запишем
$\varPhi_{z} - \varPhi_{z+\Delta z} = \frac{2}{r} B_{r}(z) \Delta z$
И в пределе $\Delta z \to 0$ получаем, как у Вас. Запомним это выражение.

По первым двум вопросам. Лучше начнем со второго.
"Сфотографируем" поле в момент времени $t=0$:
1. Возьмите любую картинку с линиями магнитного поля в соленоиде.
2. Расположите её так, чтобы линии магнитного поля внутри соленоида были направлены вверх - в $t=0$, согласно условию задачи, $B_z$ направлена вверх.
3. А теперь посмотрите куда направлена компонента $B_r$ в какой-нибудь точке (не на оси $Oz$) у нижнего конца соленоида.

[profilescit]

Получается, внутрь направлена. А значит и сила отталкивающая?

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1490840 писал(а):

Получается, внутрь направлена.

Ну да внутрь направлена.

Это кстати следует, из выведенной Вами формулы:

profilescit в сообщении #1490833 писал(а):

$-\frac{d B_{z}(z)}{dz} = \frac{2}{r} B_{r}(z)$

Так как
а) с одного края соленоида: при движении (по силовой линии поля) от края внутрь соленоида напряженность магнитного поля растет, то $\frac{d B_{z}(z)}{dz}$ имеет положительный знак, а значит $B_{r}$ - отрицательный, то есть направлена к оси $Oz$
б) с другого конца соленоида - при движении (по силовой линии поля) изнутри к краю соленоида напряженность магнитного поля падает, то $\frac{d B_{z}(z)}{dz}$ имеет отрицательный знак, а значит $B_{r}$ - положительный, то есть направлена от оси $Oz$.

-- 05.11.2020, 22:39 --

Теперь к первому вопросу.
а) У Вас получилось верно: если кольцо находится на оси в такой области пространства, что в какой-то момент времени $B_z$ направлена вверх, а $B_r$ направлена от оси, то и средняя сила действующая на кольцо будет направлена вверх. Вот только это будет у верхнего края соленоида, а не у нижнего, как в условиях.

б) Аналогично, если кольцо находится на оси в такой области пространства, что в какой-то момент времени $B_z$ направлена вверх, а $B_r$ направлена к оси, то средняя сила действующая на кольцо будет направлена вниз.

В общем случае - кольцо отталкивается от соленоида.

Подозреваю, что правильный ответ у Вас получился почти случайно - просто Вы обращали внимание на формулы для величин, но не на знаки. Хорошо бы, чтобы Вы отследили знаки, и убедились, что в пункте а) действительно знак у средней силы получает плюс (что она направлено в направлении $Oz$, которая направлена вверх).

Для этого нужно проверить:
1. Какое направление тока в кольце считается положительным?
2. Какой знак получается в выражении для тока перед синусом?
4. Какой знак имеет векторное произведение для силы Ампера? Без учета знака сдвига фазы
3. Какой знак имеет сдвиг фазы?
Вроде бы ничего не забыл.