Катушка конечных размеров и кольцо.

[profilescit]

EUgeneUs
Радиальное магнитное поле имеет амплитуду $B_{r}(z)$ а значит $B_{r} = B_{r}(z) \sin{(\omega t + \varphi)}$
Этот шаг правильный?

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1490636 писал(а):

Этот шаг правильный?

Нет.
Начните с $B_z(t)$, то есть запишите зависимость от времени аксиальной компоненты магнитного поля.

[profilescit]

$B_{z}(t) = B_0 \sin{(\omega t)}$

[EUgeneUS]

profilescit
Строго говоря, нам без разницы, будет там синус, косинус или какая-то другая фаза. В дальнейшем будет важно, какие будут сдвиги фаз, относительно этих колебаний.

Однако, в задаче есть условие, что при $t=0$, $B_z = B_0$

Поэтому, согласно условиям, правильно написать так:
$B_z(t) = B_0 \cos(\omega t)$
Теперь, используя это напишите
1. $B_r(t)$ - это просто, достаточно вспомнить, что и $B_z$ и $B_r$ создается одним и тем же током в соленоиде.
2. $I(t)$ -тут нужно быть внимательным.

[profilescit]

1. $B_{r} = B_{r}(z) \cos{(\omega t)}$
2.$ I = \frac{B_{0} \omega \pi r^2}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \sin{(\omega t + \varphi)}$

[EUgeneUS]

profilescit
Хорошо.
На мой взгляд, все таки во втором пункте будет так:

а) ЭДС в контуре кольца будет пропорциональна $\frac{ d\cos (\omega t)}{d t} = - \omega \sin (\omega t)$
б) а ток, с учетом сдвига фазы будет пропорционален $- \sin (\omega t + \varphi)$

Теперь найдите силу (в моменте, зависящую от времени). Формулу Вы уже знаете.

[profilescit]

Не могу понять почему минус, ведь ЭДС $- \frac{d \varPhi}{dt}$ что в конечном итоге будет пропорционально просто $\sin{(\omega t)}$

В конечном итоге сила будет $F_{0} \sin{(\omega t + \varphi) \cos{(\omega t)}}$ где $F_{0}$ записанная ранее амплитуда силы.

Среднее за один период значение получается $F_{0} \frac{\sin{\varphi}}{2}$

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1490697 писал(а):

Не могу понять почему минус, ведь ЭДС $- \frac{d \varPhi}{dt}$

Тоже иногда минусы теряю К минусам несколько позже вернемся.

Хорошо.
Теперь надо усреднить по времени за период произведение синуса на косинус. Для этого удобно перейти к сумме синусов.
Потом вспомнить, что тангенс $\varphi$ известен, подставить и упростить.

[profilescit]

У задачи есть интересное продолжение которое я бы хотел рассмотреть

Теперь, тот же эксперимент проводится с разными кольцами у которых одно и тоже свойство: они сверхпроводники.

На какую высоту $z_{0}$ от основания катушки поднимутся кольца?

В задачах где присутствуют сверхпроводники я знаю одно: у них нулевое электрическое сопротивление а так-же интересное свойство сохранять магнитный поток.

Как из этого приступить к решению задачи?

[EUgeneUS]

profilescit
А Вы эту-то дорешали? Какой ответ получился?

[profilescit]

Амплитуда радиальной компоненты индукции магнитного поля в точке где приложено кольцо получилось $\frac{m g (R^2 + \omega^2 L^2)}{\pi^2 r^3 B_{0} \omega^2 L}$

[EUgeneUS]

profilescit
Похоже на правду.

Перед переходом к сверхпроводникам предлагаю подумать несколько о другом.
1. Сила, действующая на кольцо со стороны магнитного поля направлена вверх у нижнего конца соленоида или у верхнего? (тут как раз возникает вопрос - а правильно ли посчитали минусы).

2. В условиях (если я точно перевел) указано, что
а) Аксиальная составляющая поля в момент времени $t=0$ направлена вверх
б) Радиальная составляющая поля в момент времени $t=0$ направлена наружу.
в) Кольцо расположено у нижнего края соленоида, соответственно пункты а) и б) относятся к полю у нижнего края соленоида.
Вопрос - а так вообще может быть? И почему?

-- 05.11.2020, 12:34 --

Про сверхпроводящее кольцо (не диск), кстати, всё очень просто.
Ответ получается, если положить $R=0$.
При этом свойство "сохранять поток" выполняется автоматически.

[profilescit]

1. Если мы говорим про среднюю за период силу, то оно будет направлено вверх вроде как в любой точке на оси $z$ соленоида. (При условии что $B_{r}(z)$ > 0 всегда)
2. А почему бы и нет? Направление аксиальной компоненты в момент $t = 0$ зависит лишь от направления тока в самом соленоиде, никак не зависит от тока в начальный момент времени в кольце (если вы не имеете в виду что кольцо соприкасается с соленоидом)

При сверхпроводники - а как из условия $R = 0$ вычислить высоту на которую поднимется кольцо?

[EUgeneUS]

profilescit в сообщении #1490786 писал(а):

1. Если мы говорим про среднюю за период силу, то оно будет направлено вверх вроде как в любой точке на оси $z$ соленоида.

Нет, конечно. Что значит "вверх" или "вниз"? Это означает всего лишь выбор оси координат. Физика не зависит от того, как мы выбрали ось.
Перевернем соленоид вверх тормашками. Это эквивалентно, что зависимость поля от времени сдвинулась по фазе на $\pi$. Очевидно, этот сдвиг по фазе никак не повлияет на среднюю за период силу.
Поэтому варианта ровно два: либо кольцо (расположенное у края соленоида) притягивается к соленоиду, либо отталкивается.
Вот и вопрос - оно притягивается или отталкивается?

profilescit в сообщении #1490786 писал(а):

2. А почему бы и нет? Направление аксиальной компоненты в момент $t = 0$ зависит лишь от направления тока в самом соленоиде, никак не зависит от тока в начальный момент времени в кольце (если вы не имеете в виду что кольцо соприкасается с соленоидом)

Так-то верно, что "Направление аксиальной компоненты в момент $t = 0$ зависит лишь от направления тока в самом соленоиде". Но и направление радиальной компоненты зависит лишь от направления тока в самом соленоиде.
Вопрос остается в силе.

profilescit в сообщении #1490786 писал(а):

При сверхпроводники - а как из условия $R = 0$ вычислить высоту на которую поднимется кольцо?

Точно также, как и при $R \ne 0$. Нужно знать зависимость $B_r(z)$.
Для не очень высокого соленоида можно приблизить полем диполя (оно в учебника рассчитывается). Наоборот, для очень длинного соленоида можно приблизить полем монополя в некоторой области с одной стороны.

-- 05.11.2020, 13:20 --

Ещё для почти равномерного поля (то есть у самого конца соленоида) можно вывести $B_r(z)$ через $\frac{\partial B_z}{\partial z}$, но откуда брать $\frac{\partial B_z}{\partial z}$?

[profilescit]

Аксиальная компонента вроде как будет равна $B_{z}(z) = \frac{n \mu_{0} \mu I}{2} \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}}$
Используя закон сохранения потока вектора магнитной индукции,
$\varPhi_{z} - \varPhi_{z+dz} = 2 \pi r B_{r}(z)$
приходим к выводу что $-\frac{d B_{z}(z)}{dz} = \frac{2}{r} B_{r}(z)$
Правильны ли эти рассуждения?

P.S. на счет первых двух вопросов что вы задали, так и не могу придти к ответу. Наверное, даже не могу толком понять второй вопрос.