2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 19:30 
Заблокирован


16/04/18

1129
Такая задача только с косинусами из задачника: Садовничий, Подколзин, Задачи студенческих олимпиад по математике, 1978, задача 225. Там всё очевидно в две строки. С синусом хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Как насчет $a_{n+1}=a_n\sin(1/a_n)$, $a_0\ne 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение29.10.2020, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А вот тут уже вещи становятся волосатыми. Предел может и не быть 0. Попросту говоря, если мы достаточно близки к $2\over\pi(4n+1)$ сверху, то после следующей итерации мы оказываемся к нему ещё ближе, но всё-таки сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение29.10.2020, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Ну да, тут гораздо интереснее, могут быть: 1) области сходимости к ненулевому пределу, 2) области, где нет сходимости ни к какому пределу, 3) области сходимости к нулю, а в них 3а) области сходимости ряда и 3б) не сходимости ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение29.10.2020, 23:08 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1489654 писал(а):
А если бы было $a_{n+1}=\ln(1+a_n)$, $a_0>1$, тогда как?

На основании разложения данной функции в ряд Тейлора получим:$a_{n+1}>a_n(1-a_n/2)$. Получаем геометрическую прогрессию с $q=1-a_n/2$ . Cумма геометрической прогрессии равна $2a_0/a_n$, поэтому при $a_n \to 0$ искомый ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1489928 писал(а):
На основании разложения данной функции в ряд Тейлора получим:$a_{n+1}>a_n(1-a_n/2)$. Получаем геометрическую прогрессию с $q=1-a_n/2$ . Cумма геометрической прогрессии равна $2a_0/a_n$, поэтому при $a_n \to 0$ искомый ряд расходится.
Вы опять неаккуратно рассуждаете. Если применять этот метод, то $a_{i+1}>a_i(1-a_i/2)\ge a_i(1-a_n/2)$ при $i\ge n$, откуда $\sum_{i=n}^{+\infty}a_i>a_n/(a_n/2)=2$, из этого расходимость не следует. Я поэтому и поставила такой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
alisa-lebovski в сообщении #1489866 писал(а):
Ну да, тут гораздо интереснее, могут быть: 1) области сходимости к ненулевому пределу, 2) области, где нет сходимости ни к какому пределу

Несходимости быть не может. Последовательность монотонна (по модулю) и ограничена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
ИСН в сообщении #1489972 писал(а):
Несходимости быть не может. Последовательность монотонна (по модулю) и ограничена.
А перемены знака?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 14:43 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1489962 писал(а):
$\sum_{i=n}^{+\infty}a_i>a_n/(a_n/2)=2$, из этого расходимость не следует. Я поэтому и поставила такой вопрос.
Может я не совсем аккуратен, но мне кажется, что У Вас ошибка. Здесь не учтена сумма первых членов ряда: $\sum_{i=0}^{n-1} {a_i}+\sum_{i=n}^{+\infty}{a_i} \geq na_n+2$, где $n$ - любое, и ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1489999 писал(а):
Отсюда следует, что ряд расходится?
Поведение любого конечного числа первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость. Это асимптотические свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
alisa-lebovski в сообщении #1489976 писал(а):
А перемены знака?

А тут лукавая вещь, потому что синус - функция нечётная. Если мы "почти сошлись" по модулю к чему-то отличному от нуля, и там меняем знак, то первая же перемена знака приведёт нас туда, где мы сядем на якорь и больше менять знак не будем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1489999 писал(а):
Здесь не учтена сумма первых членов ряда: $\sum_{i=0}^{n-1} {a_i}+\sum_{i=n}^{+\infty}{a_i} \geq na_n+2$
Кстати, даже если так рассуждать, все равно не работает, поскольку здесь получается $a_n\sim 2/n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 16:39 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1490000 писал(а):
Поведение любого конечного числа первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость. Это асимптотические свойства.
Причем тут это.
Предположим, что ряд сходится, тогда остаток ряда должен стремиться к нулю, а мы имеем противоречие:
alisa-lebovski в сообщении #1489962 писал(а):
$\sum_{i=n}^{+\infty}a_i>a_n/(a_n/2)=2$
Следовательно, предположение не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1490020 писал(а):
Предположим, что ряд сходится, тогда остаток ряда должен стремиться к нулю, а мы имеем противоречие:
Да, вот это уже верно. Не сообразила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 17:32 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1490024 писал(а):
Да, вот это уже верно. Не сообразила.
Значит в этом случае можно обойтись разложением в ряд Тейлора без использования теоремы Штольца.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group