2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 13:14 


14/02/20
863
Интересно, что в Кудрявцеве есть эта задача, причем даже более общего плана (найти область сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin\sin...\sin x$ (в каждом слагаемом $n$ синусов)), и она даже не отдельная задача, а подпункт задания (Том 2, Гл. 5, $\S$ 18, 6(3)).

Может быть, есть какое-то совсем простое решение даже в таком общем случае?

-- 23.10.2020, 13:27 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 14:11 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
Посмотрите на доказательства в теме и поймите когда они не работают. Тут все абсолютно аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Геометрическая прогрессия вроде всегда работает. Кроме точек, кратных $\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Если $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$, то, используя формулу Тейлора, показываем, что $f(x_{n+1})-f(x_n)\sim\dfrac{1}{3}$, поэтому, по теореме Штольца, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)}{n}=\dfrac{1}{3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 16:35 
Заслуженный участник


12/08/10
1676

(Оффтоп)

thething в сообщении #1488664 писал(а):
Если $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$, то, используя формулу Тейлора, показываем, что $f(x_{n+1})-f(x_n)\sim\dfrac{1}{3}$, поэтому, по теореме Штольца, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)}{n}=\dfrac{1}{3}$.
Уже было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика

(Оффтоп)

Null
Проморгал Ваше сообщение среди прочего обсуждения

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 19:30 


14/02/20
863
Null в сообщении #1488637 писал(а):
Посмотрите на доказательства в теме и поймите когда они не работают. Тут все абсолютно аналогично.

alisa-lebovski в сообщении #1488641 писал(а):
Геометрическая прогрессия вроде всегда работает. Кроме точек, кратных $\pi$.


Да, тут все понятно, область сходимости - числа, кратные $\pi$. В любой другой точке можно применить нашу логику.

Меня смущает, что эта задача, которая решается достаточно нетривиально, в сборнике задач на уровне остальных достаточно простых. Я вот и думаю, нет ли какого-то тривиального решения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение23.10.2020, 23:24 


23/02/12
3335
artempalkin в сообщении #1488716 писал(а):
Я вот и думаю, нет ли какого-то тривиального решения...
Действительно все по-моему просто. Выполняется необходимый признак сходимости и достаточный признак сходимости Даламбера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 12:06 


14/02/20
863
vicvolf в сообщении #1488754 писал(а):
достаточный признак сходимости Даламбера

Поясните?

-- 24.10.2020, 12:40 --

Не получится.

Т.к. $a_n\to0$, $\lim\limits_{n\to\infty}\frac {a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac {\sin a_n}{a_n}=1$, так что признак Даламбера не сработает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 18:11 


23/02/12
3335
artempalkin в сообщении #1488803 писал(а):
vicvolf в сообщении #1488754 писал(а):
достаточный признак сходимости Даламбера

Поясните?
Если для ряда $a_1+a_2+...+a_n+...$ c положительными членами, начиная с некоторого номера $n$ отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n}<1$, то ряд сходится (признак сходимости Даламбера).
В данном случае: $\frac {a_1}{a_0}=\frac {sin1}{1}<1,\frac {a_2}{a_1}=\frac {sinsin1}{sin1}<1,...,\frac {a_{n+1}}{a_n}=\frac {sin...sinsin1}{sin1...sin1}<1,...$ Поэтому ряд сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1488862 писал(а):
Если для ряда $a_1+a_2+...+a_n+...$ c положительными членами, начиная с некоторого номера $n$ отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n}<1$, то ряд сходится (признак сходимости Даламбера).
Нет, признак Даламбера заключается не в этом. А это утверждение просто неверно. Простой тому пример - $a_n=1/n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 19:15 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1488863 писал(а):
Нет, признак Даламбера заключается не в этом. А это утверждение просто неверно. Простой тому пример - $a_n=1/n$.
Согласен, есть нюанс. Уточню формулировку - Если для ряда $a_1+a_2+...+a_n+...$ c положительными членами, начиная с некоторого номера $n$ выполняется отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n} \leq q <1$, тогда ряд сходится. Такое $q$ здесь не существует и Даламбер не работает. Хотел упростить и вместе с коляской...Прошу прощения :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение24.10.2020, 19:21 


14/02/20
863

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1488888 писал(а):
выполняется отношение $\frac {a_{n+1}}{a_n} \leq q <1$

Ага, это нюанс, который у студентов вызывает вопрос ("в чем разница $b_n<1$ или $b_n\leqslant q<1$?!"), но по факту разница есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
А если бы было $a_{n+1}=\ln(1+a_n)$, $a_0>1$, тогда как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
alisa-lebovski
Аналогично, по Тейлору и Штольцу, только рассматривать $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Асимптотика $a_n$ будет $\dfrac{2}{n}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group