2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 19:30 
Заблокирован


16/04/18

1129
Такая задача только с косинусами из задачника: Садовничий, Подколзин, Задачи студенческих олимпиад по математике, 1978, задача 225. Там всё очевидно в две строки. С синусом хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение28.10.2020, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Как насчет $a_{n+1}=a_n\sin(1/a_n)$, $a_0\ne 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение29.10.2020, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А вот тут уже вещи становятся волосатыми. Предел может и не быть 0. Попросту говоря, если мы достаточно близки к $2\over\pi(4n+1)$ сверху, то после следующей итерации мы оказываемся к нему ещё ближе, но всё-таки сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение29.10.2020, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Ну да, тут гораздо интереснее, могут быть: 1) области сходимости к ненулевому пределу, 2) области, где нет сходимости ни к какому пределу, 3) области сходимости к нулю, а в них 3а) области сходимости ряда и 3б) не сходимости ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение29.10.2020, 23:08 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1489654 писал(а):
А если бы было $a_{n+1}=\ln(1+a_n)$, $a_0>1$, тогда как?

На основании разложения данной функции в ряд Тейлора получим:$a_{n+1}>a_n(1-a_n/2)$. Получаем геометрическую прогрессию с $q=1-a_n/2$ . Cумма геометрической прогрессии равна $2a_0/a_n$, поэтому при $a_n \to 0$ искомый ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1489928 писал(а):
На основании разложения данной функции в ряд Тейлора получим:$a_{n+1}>a_n(1-a_n/2)$. Получаем геометрическую прогрессию с $q=1-a_n/2$ . Cумма геометрической прогрессии равна $2a_0/a_n$, поэтому при $a_n \to 0$ искомый ряд расходится.
Вы опять неаккуратно рассуждаете. Если применять этот метод, то $a_{i+1}>a_i(1-a_i/2)\ge a_i(1-a_n/2)$ при $i\ge n$, откуда $\sum_{i=n}^{+\infty}a_i>a_n/(a_n/2)=2$, из этого расходимость не следует. Я поэтому и поставила такой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
alisa-lebovski в сообщении #1489866 писал(а):
Ну да, тут гораздо интереснее, могут быть: 1) области сходимости к ненулевому пределу, 2) области, где нет сходимости ни к какому пределу

Несходимости быть не может. Последовательность монотонна (по модулю) и ограничена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
ИСН в сообщении #1489972 писал(а):
Несходимости быть не может. Последовательность монотонна (по модулю) и ограничена.
А перемены знака?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 14:43 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1489962 писал(а):
$\sum_{i=n}^{+\infty}a_i>a_n/(a_n/2)=2$, из этого расходимость не следует. Я поэтому и поставила такой вопрос.
Может я не совсем аккуратен, но мне кажется, что У Вас ошибка. Здесь не учтена сумма первых членов ряда: $\sum_{i=0}^{n-1} {a_i}+\sum_{i=n}^{+\infty}{a_i} \geq na_n+2$, где $n$ - любое, и ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1489999 писал(а):
Отсюда следует, что ряд расходится?
Поведение любого конечного числа первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость. Это асимптотические свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
alisa-lebovski в сообщении #1489976 писал(а):
А перемены знака?

А тут лукавая вещь, потому что синус - функция нечётная. Если мы "почти сошлись" по модулю к чему-то отличному от нуля, и там меняем знак, то первая же перемена знака приведёт нас туда, где мы сядем на якорь и больше менять знак не будем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1489999 писал(а):
Здесь не учтена сумма первых членов ряда: $\sum_{i=0}^{n-1} {a_i}+\sum_{i=n}^{+\infty}{a_i} \geq na_n+2$
Кстати, даже если так рассуждать, все равно не работает, поскольку здесь получается $a_n\sim 2/n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 16:39 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1490000 писал(а):
Поведение любого конечного числа первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость. Это асимптотические свойства.
Причем тут это.
Предположим, что ряд сходится, тогда остаток ряда должен стремиться к нулю, а мы имеем противоречие:
alisa-lebovski в сообщении #1489962 писал(а):
$\sum_{i=n}^{+\infty}a_i>a_n/(a_n/2)=2$
Следовательно, предположение не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1490020 писал(а):
Предположим, что ряд сходится, тогда остаток ряда должен стремиться к нулю, а мы имеем противоречие:
Да, вот это уже верно. Не сообразила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда, заданного рекурсивно
Сообщение30.10.2020, 17:32 


23/02/12
3335
alisa-lebovski в сообщении #1490024 писал(а):
Да, вот это уже верно. Не сообразила.
Значит в этом случае можно обойтись разложением в ряд Тейлора без использования теоремы Штольца.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group