Учитывая, что бОльшая часть этой темы - довольно путанная и невнятная дискуссия, в которой далеко не каждый захочет разбираться, я решил поместить здесь краткие итоги темы, а кое-что дополнить и уточнить.
Это позволит читателю, ознакомившись с исходным материалом (Часть 1), сразу переместиться сюда и увидеть итоги дискуссии по мнению автора.
Итак,
1. Сопоставив уравнения (2) и (4), мы получили:
1.1. Равенство (7), а именно:
![$ (x_1-a_1/3)(3A-3B/a_1)=(a_1/3)^2$ $ (x_1-a_1/3)(3A-3B/a_1)=(a_1/3)^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/a/cca286d0aef45426c65bbb7dd7dd74b882.png)
;
1.2. Кратность
![$a_1/3$ $a_1/3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/6/57613d9393676cd672763af4dca90d6782.png)
числу 6 ;
1.3. Некоторые, самые общие отношения
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
и
![$a_1/3$ $a_1/3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/6/57613d9393676cd672763af4dca90d6782.png)
, а именно:
![$a_1/2>x_1>a_1/3$ $a_1/2>x_1>a_1/3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60d8220e14f3ef344cce4dd6b48a8da82.png)
и значит
2. Опираясь на взаимную простоту первой и второй скобок уравнения (1.1),
а именно:
![$x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/3/b7307ecd8ba9156e2801679d677b536e82.png)
, и равенство (7), мы показали, что (1.1) может выполняться, только если
![$ (x_1-a_1/3)=z-y=1$ $ (x_1-a_1/3)=z-y=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/7/9e77af963093e171d6e832c7a82cf7f582.png)
.
3. Остался, однако, нерассмотренным случай невзаимнопростых скобок (1.1).
Такой случай получаем, если
![$z-y$ $z-y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47fca92588b4c230620e40c3acc81da482.png)
кратно 3.
Уточним, во-первых: что для этого случая
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
делится на 3, а
![$zy$ $zy$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/7/1d7ddc03e00ad7964b73fa512c62e84182.png)
не делится. Поэтому вторая скобка правой части (1.1) может содержать только одну тройку, а это значит что
![$z-y$ $z-y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47fca92588b4c230620e40c3acc81da482.png)
содержит 9 (обе части (1.1) содержат 27).
И во-вторых:
![$z-y$ $z-y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/f/47fca92588b4c230620e40c3acc81da482.png)
это просто константа 9, поскольку только 3 является общим делителем двух скобок правой части (1.1).
Главной проблемой дискуссии была недоказанность того что в (7)
![$(x_1-a_1/3)$ $(x_1-a_1/3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/0/880a7081f776dc0045c229606992e06982.png)
это квадрат. Теперь это ясно. Но то, что
![$(x_1-a_1/3)$ $(x_1-a_1/3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/0/880a7081f776dc0045c229606992e06982.png)
это квадрат тройки противоречит (7), поскольку вторая скобка (7) это четный квадрат равный
![$(a_1/3)^2$ $(a_1/3)^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/8/b28221c6d079770ae7a0b0328bf3b0ec82.png)
, а
![$(x_1-a_1/3)$ $(x_1-a_1/3)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/0/880a7081f776dc0045c229606992e06982.png)
это константа 1 ( нечетный квадрат меньше 6).
Теперь можно считать доказанным, что (1) может выполняться, только если
![$z-y=1$ $z-y=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/6/bd6ac60207db0d2122841d299dbc7c1882.png)
.
В «Часть 2» показано что (1) не может выполняться для
![$z-y=1$ $z-y=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/6/bd6ac60207db0d2122841d299dbc7c1882.png)
.