Это задача из ШАДа, но, думаю, многие встречались с ней в своей практике.
Пусть
и
. Исследовать на сходимость ряд
.
Я вроде бы решил, но решение получается, как бы сказать, кривоватое на формулировки что ли, подразумевающее рассматривание многих необязательных нюансов.
Переобозначим члены нашего ряда
. Члены
, т.к.
(это доказывается по теореме о монотонной ограниченной последовательности). Тогда наш ряд имеет вид
.
Самым важным неравенством, которое нам понадобится здесь, будет
(1), верное для достаточно больших
.
(Оффтоп)
Рассмотрим разность
при достаточно больших
Далее, рассмотрим исходный ряд, начиная с некоторого далекого номера
, где для членов рассмотренное выражение (1) больше нуля (я так понимаю, что это будет верно с первого номера, но зачем испытывать судьбу?), то есть
(например,
). Придется доказывать по индукции, что
.
1) Для
верно, оно написано выше
2) Для
предполагаем верность:
3) Для
:
.
Ндааа... Я понимаю, как доказываю, надеюсь, у кого-то еще найдутся силы вникнуть :) В целом, мы доказали, что, начиная с некоторого номера
для членов ряда будет верно:
, где
- некоторое число больше нуля (оно равно
). Ряд справа расходится (это, кстати, нужно отдельно доказывать), значит расходится и исходный ряд.
Откуда тут берется именно гармонический ряд - сказать не могу. Просто решил сравнить и получилось. В этом смысле решение поначалу интуитивное (хотя на олимпиадном уровне так оно чаще всего и бывает, как я понимаю). Вопрос такой: есть ли доказательство проще? :)