Сходимость ряда, заданного рекурсивно

[artempalkin]

Это задача из ШАДа, но, думаю, многие встречались с ней в своей практике.

Пусть $a_0=1$ и $a_{n+1}=\sin a_n$. Исследовать на сходимость ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n$.

Я вроде бы решил, но решение получается, как бы сказать, кривоватое на формулировки что ли, подразумевающее рассматривание многих необязательных нюансов.

Переобозначим члены нашего ряда $b_n=\frac 1{a_n}$. Члены $b_n \to +\infty$, т.к. $a_n\to 0$ (это доказывается по теореме о монотонной ограниченной последовательности). Тогда наш ряд имеет вид $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac 1{b_n}$.

Самым важным неравенством, которое нам понадобится здесь, будет $\sin\frac 1x>\frac 1{x+1}$ (1), верное для достаточно больших $x$.

(Оффтоп)

Рассмотрим разность $\sin \frac 1x-\frac 1{x+1}=\frac 1x - \frac 1{6x^3}+...-\frac 1{x+1}=\frac 1{x(x+1)}+O(\frac 1{x^3})>0$ при достаточно больших $x$

Далее, рассмотрим исходный ряд, начиная с некоторого далекого номера $p$, где для членов рассмотренное выражение (1) больше нуля (я так понимаю, что это будет верно с первого номера, но зачем испытывать судьбу?), то есть $\sin \frac 1{b_n}>\frac 1{b_n+1}$ (например, $\sin\frac 1 {b_p}=\frac1{b_{p+1}}>\frac 1{b_p+1}$). Придется доказывать по индукции, что $a_{p+k}=\frac 1{b_{p+k}}>\frac 1{b_p+k}$.

1) Для $k=1$ верно, оно написано выше
2) Для $k$ предполагаем верность: $\frac 1{b_{p+k}}>\frac 1{b_p+k}$
3) Для $k+1$:

$a_{p+k+1}=\frac 1{b_{p+k+1}}=\sin\frac 1{b_{p+k}}>\{$по предположению индукции$\}>\frac 1{b_p+k}>\{$по доказанному нами выше неравенству$\}>\frac 1{b_p+k+1}$.

Ндааа... Я понимаю, как доказываю, надеюсь, у кого-то еще найдутся силы вникнуть :) В целом, мы доказали, что, начиная с некоторого номера $p$ для членов ряда будет верно: $a_{p+k}>\frac 1{b_p+k}$, где $b_p$ - некоторое число больше нуля (оно равно $\frac 1{a_p}$). Ряд справа расходится (это, кстати, нужно отдельно доказывать), значит расходится и исходный ряд.

Откуда тут берется именно гармонический ряд - сказать не могу. Просто решил сравнить и получилось. В этом смысле решение поначалу интуитивное (хотя на олимпиадном уровне так оно чаще всего и бывает, как я понимаю). Вопрос такой: есть ли доказательство проще? :)

[ИСН]

Очевидно, $a_n$ спадает примерно как $1\over\sqrt n$. Но доказать это не проще.

[alisa-lebovski]

Мне кажется, стоит использовать разложение синуса в нуле и применить методы topic143173.html

[TOTAL]

$a_{i+1}>a_i \left( 1- \dfrac{a_n^2}{6} \right), \;\; i=n, n+1, \dots$
Это не хватает?

[artempalkin]

TOTAL в сообщении #1488474 писал(а):

$a_{i+1}>a_i \left( 1- \dfrac{a_n^2}{6} \right), \;\; i=n, n+1, \dots$
Это не хватает?

Что-то вроде нет. Если воспользоваться Даламбером, то получится:

$\lim\limits_{i\to\infty}\frac {a_{i+1}}{a_i}\geqslant 1-\frac {a_n^2}6$... что вроде как никакой информации не несет

[TOTAL]

artempalkin в сообщении #1488488 писал(а):

Что-то вроде нет.

Это геометрическая прогрессия, найдите её сумму.

[ИСН]

artempalkin в сообщении #1488488 писал(а):

Что-то вроде нет. Если воспользоваться Даламбером...

Разумеется. Даламбер нужен, когда ряд экспоненциально сходится или экспоненциально расходится. Для всего, что между (а мы между), он никакой информации не несет.

[artempalkin]

ИСН в сообщении #1488494 писал(а):

Даламбер нужен, когда ряд экспоненциально сходится или экспоненциально расходится.

Так мне кажется, что это и предлагает уважаемый TOTAL.

TOTAL в сообщении #1488491 писал(а):

Это геометрическая прогрессия

- это и есть экспонента

TOTAL в сообщении #1488491 писал(а):

Это геометрическая прогрессия, найдите её сумму.

Сумму можно найти, но какой в этом смысл, если сумма нашего ряда больше, в соответствии с

TOTAL в сообщении #1488474 писал(а):

$a_{i+1}>a_i \left( 1- \dfrac{a_n^2}{6} \right), \;\; i=n, n+1, \dots$

[TOTAL]

artempalkin в сообщении #1488498 писал(а):

Сумму можно найти, но какой в этом смысл, если сумма нашего ряда больше

В этом и смысл

[artempalkin]

TOTAL
Хорошо, сумма нашего ряда (начиная с некоторого далекого номера $n$) будет больше, чем

$\frac 6 {a_n}$

Это конечное число, но сумма нашего ряда больше, разве это, опять же, дает нам какую-то информацию?

-- 22.10.2020, 17:50 --

Ооо, ну в том плане, что, поскольку $a_n$ стремится к нулю, то $\frac 6 {a_n}$ стремится к $\infty$, то даже сумма остатка любого остатка ряда будет сколь угодно велика... правильно я понял?

[TOTAL]

artempalkin в сообщении #1488502 писал(а):

TOTAL
Хорошо, сумма нашего ряда (начиная с некоторого далекого номера $n$) будет больше, чем

$\frac 6 {a_n}$

Это конечное число, но сумма нашего ряда больше, разве это, опять же, дает нам какую-то информацию?

Сложите это с предыдущими для надёжности $(n-1)a_n + \frac 6 {a_n}$.
Здесь $n$ - любое. Ну как, слабо сойтись?

[artempalkin]

TOTAL в сообщении #1488504 писал(а):

Ну как, слабо сойтись?

Да, слабо, я понял :)

Это изящнее, чем мое, конечно, хотя тоже требует некоторых манипуляций. Но, конечно, изящнее! Спасибо!

[Null]

$\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{x^2}\right]=\frac{1}{3}$ значит $\frac{1}{x^2}\sim\frac{n}{3}$

[DeBill]

artempalkin
Но Ваше решение - тоже вполне себе хорошее, причем и - идейное: идея в том, чтобы оценить функцию, итерации которой рассматриваются, другой - меньшей, итерации которой явно считаются. Последних - не так уж много, и самая из них хорошая - дробно-линейная $f_1(x)=\frac{x}{1+x}$ - именно с ней Вы и сравнивали синус: $\sin x >f_1(x)$ при малых $x$, $f_1\circ f_1\circ ... \circ f_1(x)= \frac{x}{1+nx}$, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x}{1+nx}$ расходится.
Отмечу только, что для чуть более суровой задачи "при каких $\alpha$ ряд $\sum\limits_{}^{}a_n^{\alpha}$ сходится?" такой оценки было бы недостаточно: тут потребовалось бы сравнение с другой "хорошей" функцией
(типа $g^{-1} \circ f_1 \circ g $, где $g(x)=x^k$)

[artempalkin]

DeBill в сообщении #1488529 писал(а):

идея в том, чтобы оценить функцию, итерации которой рассматриваются, другой - меньшей, итерации которой явно считаются.

Ну, именно такой идеи я не закладывал, но в целом понимаю, о чем вы говорите :)