Теория последовательностей

[UnknownHERO]

Просьба выложить решение двух задач, желательно с описанием решения.
Предпологая, что n пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:
1)$\lim[{\frac{1^2}{n^3}+\frac{1^2}{n^3}+...+\frac{(n-1)^2}{n^3}}]$, при n стремящимся к бесконечности.
2)$\lim[{\frac{1}{{1}\cdot{2}}+\frac{1}{{2}\cdot{3}}+...+\frac{1}{{n}\cdot{(n+1)}}}]$, при n стремящемся к бесконечности.

Еще один вопрос, что значат квадратные скобки?

Заранее спасибо за помощь!

[id]

UnknownHERO
1. Посмторите теорему Штольца: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A8%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0

2. Распишите каждый член в два члена примерно так
$\frac 1 {1*2} = 1 - \frac 1 2$
и т.п.

[ewert]

UnknownHERO в сообщении #148561 писал(а):

Просьба выложить решение двух задач, желательно с описанием решения.

Долго думал, что лучше -- выложить решение без его описания или, наоборот, описание решения без самого решения. Остановился вот на чём.

Первая сумма -- интегральная и стремится к соответствующему определённому интегралу (надо просто занести пару эн под квадраты, а единицу на третью эн рассматривать как шаг интегральной суммы).

Во второй -- разложить каждую дробь на сумму двух простейших (т.е. с единичными степенями в знаменателе), тогда почти все слагаемые сократятся.

В-третьих: квадратные скобки ровно ничего не значат, кроме того, что они -- скобки.

[PAV]

PAV:

Тема переносится в карантин. Исправьте в своем сообщении формулы в соответствии с правилами форума (инструкция здесь). Когда будет готово, сообщите любому модератору, и тема будет возвращена обратно.

Выкладывание готовых решений учебных задач на этом форуме не допускается.

Добавлено спустя 2 часа 53 минуты 16 секунд:

Возвращено

[Gafield]

Квадратные скобки могут означать целую часть числа. А могут и не означать

[UnknownHERO]

Спасибо, со второй задачей разобрался.
А вот с первой по прежнему проблемы.Так и не понял, чем мне поможет теорема Штольца, да и второе описание ясности не добавило.

[PAV]

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

[ewert]

UnknownHERO писал(а):

, да и второе описание ясности не добавило.

Зависит от того, были ли у вас уже интегралы, и вообще, в каком состоянии вы сейчас.

Обычно ряды дают уже после определённого интеграла со всеми его прибамбасами, иначе изложение получается совсем уж бессознательным.

Короче: первый предел равен $\int_0^1x^2dx$, по определению этого интеграла. Так лучше?

---------------------------------------------------------------
да, и добавьте для приличия в Ваши формулы скобки, а заодно уберите и звёздочки, заменив их на \cdot

[UnknownHERO]

PAV писал(а):

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Это использовалосьво второй задаче.Ее я как раз решил.Спасибо за помощь.

[Brukvalub]

UnknownHERO в сообщении #148596 писал(а):

Так и не понял, чем мне поможет теорема Штольца

А как звучит т. Штольца?

[ewert]

там же нужно эн в кубе за скобки вынести, а это тяжело. И, кстати, лишние теоремы учить -- тоже вредно.

В общем: если эта задачка не на интегрирование, то она -- откровенно неспортивна.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #148609 писал(а):

там же нужно эн в кубе за скобки вынести, а это тяжело. И, кстати, лишние теоремы учить -- тоже вредно.

Ловко же Вы, ewert, дельные замечания всяким своим бредом разбавляете. С какой стати т. Штльца стала "лишней"? Да и "эн в кубе за скобки вынести" только вам и тяжело, а мне - так раз плюнуть.

[UnknownHERO]

ewert писал(а):

там же нужно эн в кубе за скобки вынести, а это тяжело. И, кстати, лишние теоремы учить -- тоже вредно.

В общем: если эта задачка не на интегрирование, то она -- откровенно неспортивна.

Прошу прощения за опечатку.В первой задаче в знаменателе везде куб.Может так спортивнее выглядит.По поводу показанного интеграла: не понятно, почему он 0 до 1.

[Brukvalub]

Первая задача - стандартное упражнение на т. Штольца.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

, а мне - так раз плюнуть.

искренне рад за Вас со Штльцем