Теория последовательностей

[id]

Подводя итог, Вам тут предложили уже три метода решения задачи :

1) Вынести $\frac 1 {n^3}$ и посчитать сумму квадратов по известной формуле, которая доказывается тривиально по индукции ( если в школе еще не было индукции, другое доказательство есть в "Комбинаторике" Виленкина НЯ )

2) Рассмотреть предел как интегральную сумму с шагом равным $\frac 1 n$

3) Применить теорему Штольца.

[gris]

Раз уж пошла такая пьянка, предложу еще одно "решение".
Расcмотрим функцию $f(x)=\frac{(x-1)^2+(x-2)^2 +.... + (x-[x])^2)}{x^3} $ (в числителе [x] слагаемых. Для целых x получаем выражение из задачи.) и посчитаем ее предел на бесконечности по правилу Лопиталя, продифференцировав два раза числитель и знаменатель.
После первого дифференцирования
$\frac{2(x-1) + 2(x-2) +.....}{3x^2}$
После второго $\frac{2+2+...+2}{6x} = \frac{2[x]}{6x} =1/3}$
И снова $1/3$ !

[Профессор Снэйп]

gris писал(а):

Раз уж пошла такая пьянка, предложу еще одно "решение".

Ну разве что в кавычках "решение"... Вряд ли сумма в числителе будет дифференцируема при целых $x$.

Добавлено спустя 7 минут 29 секунд:

Зато вот решение номер 5, геометрическое.

Составим из кубиков квадрат размера $n \times n$. На него положим другой квадрат размера $(n-1) \times (n-1)$. И т. д., вплоть до квадрата размера $1 \times 1$. Получим четырёхугольную пирамиду (типа египетскую ) высоты $n$, площадь основания которой равна $n^2$. Ну а объём пирамиды (что в нашем случае есть количество кубиков, в неё уложенных) равен, как известно, $Sh/3$, где $h$ --- высота, а $S$ --- площадь основания.

[gris]

Цитата:

Вряд ли сумма в числителе будет дифференцируема при целых х .

Будет, но только один раз:(
Производная - непрерывная кусочно-линейная функция с "углами".
А что если еще рассмотреть диагональ п-мерного параллелепипеда со сторонами 1, 2, 3 .... п. И ее отношение к объему трехмерной сферы радиуса п? Мечты, мечты...