Теория последовательностей

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Brukvalub писал(а):

Штльц, а мне - так раз плюнуть.

искренне рад за Вас со Штльцем

Добавлено спустя 15 секунд:

Brukvalub писал(а):

, а мне - так раз плюнуть.

искренне рад за Вас со Штльцем

А еще пять раз повторить мою искаженную Вами цитату, когда по делу сказать уже нечего, получится, или слабо?

[gris]

Автор наверное поставил рекорд по числу корректирования условий задачи. Даже обидно, что в конце концов всё свелось к формуле суммы квадратов натуральных чисел от 1 до n-1, которую в 9 классе проходят:). Но ув ewert даже после всех редактиований оказался прав.

[ewert]

издеваться над моим интернетом -- тоже неспортивно

UnknownHERO писал(а):

По поводу показанного интеграла: не понятно, почему он 0 до 1.

Потому, что ${(n-1)\over n$, стоящее под квадратом, на нижнем пределе даёт приблизительно ноль, а на верхнем -- единичку. И шаг -- как раз именно единица на количество слагаемых. (Там, правда, сбой на одно слагаемое, но это не имеет значения -- оно всё равно стремится к нулю.)

[Brukvalub]

Есть стандартное упражнение на ф-лу Штольца: найти

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {i^k } }}{{n^{k + 1`} }} \]

Но в данном частном случае gris, безусловно, прав - задача решается просто школьным методом, безо всяких там заумных интегральных сумм и оценок равномерно бесконечно малых погрешностей, чрезвычайно вредных для такой простой задачи.

[UnknownHERO]

Нужно использовать формулировку теоремы Штольца или следствие из нее?

Добавлено спустя 3 минуты:

gris писал(а):

Даже обидно, что в конце концов всё свелось к формуле суммы квадратов натуральных чисел от 1 до n-1, которую в 9 классе проходят:)

А можно эту формулу. А то я только в шестом учусь.))

[ewert]

Brukvalub писал(а):

и оценок равномерно бесконечно малых погрешностей, чрезвычайно вредных для такой простой задачи.

А здесь никаких оценок и не нужно. Предел равен интегралу просто по определению интеграла. Если, конечно, предположить, что само определение интеграла имеет смысл.

А дело всё в том, что подобные задачи встречаются очень часто, и вовсе не только для степенных (или ещё каких спцфцсских) последовательностей.

[gris]

Ув.UnknownHERO, Вы своей невнимательностью провоцируете ссору титанов мысли. Вам же уже посоветовали вынести за скобки $1/{n^3}$. В Вашем первом варианте этого нельзя было сделать. Но ответ не изменился, к счастью

[Brukvalub]

UnknownHERO в сообщении #148636 писал(а):

А можно эту формулу. А то я только в шестом учусь.))

Это какие изверги такими задачами шестиклассников мучают?

[gris]

Она начинается с $n^3/3$. Этого достаточно. В шестом знаете какие ученики бывают!

[ewert]

UnknownHERO писал(а):

Нужно использовать формулировку теоремы Штольца или следствие из нее?

Буквально саму теорему. После вынесения за скобки получится именно отношение двух последовательностей (очевидным образом анализируемых).

[Brukvalub]

\[ 1^3 + 2^3 + ... + (n + 1)^3 = S_n \Rightarrow S_n = (0 + 1)^3 + (1 + 1)^3 + ... + ((n - 1) + 1)^3 + (n + 1)^3 = \]

S_{n - 1} + 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) + 3(1 + 2 + ... + n) + n \Rightarrow 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = ...Так Вы получите нужную Вам ф-лу:

UnknownHERO в сообщении #148636 писал(а):

А можно эту формулу. А то я только в шестом учусь.))

[UnknownHERO]

По поводу шестого класса была шутка.Жаль, что не поняли.Вынося $\frac{1}{n^3}$ скобку получаю $\lim{\frac{1}{n^3}(1^2+2^2+...+(n-1)^2)}$.
Теорема же Штольца,насколько я понял заключается в том, что $\lim{\frac{a_n+1-a_n}{b_n+1-b_n}=\lim{\frac{a_n}{b_n}$.Примение теоремы не видится мне таким уж очевидным.Разъясните, пожалуста.

[Brukvalub]

UnknownHERO в сообщении #148675 писал(а):

По поводу шестого класса была шутка.Жаль, что не поняли

UnknownHERO в сообщении #148675 писал(а):

Примение теоремы не видится мне таким уж очевидным.Разъясните, пожалуста.

Так разве в 8-м классе Вы это не проходили? Наверное, проболели? Тогда учебник алгебры в руки - и вперед, за знаниями, шутничек Вы наш...

[ewert]

UnknownHERO писал(а):

Вынося $\frac{1}{n^3}$ скобку получаю $\lim{\frac{1}{n^3}(1^2+2^2+...+(n-1)^2)}$.
Теорема же Штольца,насколько я понял заключается в том, что $\lim{\frac{a_n+1-a_n}{b_n+1-b_n}=\lim{\frac{a_n}{b_n}$.

Ну так вот у Вас ровно правая часть теоремы Штольца и получилась, осталось прикинуть (можно в уме) левую.

(да, разумеется, если добавить фигурные скобочки к индексам левой части)

[Профессор Снэйп]

UnknownHERO писал(а):

По поводу шестого класса была шутка.Жаль, что не поняли.Вынося $\frac{1}{n^3}$ скобку получаю $\lim{\frac{1}{n^3}(1^2+2^2+...+(n-1)^2)}$.
Теорема же Штольца,насколько я понял заключается в том, что $\lim{\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim{\frac{a_n}{b_n}$.Примение теоремы не видится мне таким уж очевидным.Разъясните, пожалуста.

Положите $b_n=n^3$ и $a_n = 1^2 + \cdots + (n-1)^2$.