Полный набор данных электромагнитного поля

[ArshakA]

Насколько я понимаю (поправьте, если неверно) для любой пары плотности заряда $\rho$ и плотности тока $j $ такой, что
* $\rho$ и $j$ непрерывны,
* если $\rho(p) = 0$, то $ j(p) = 0$
существует электромагнитное поле в вакууме с такими данными. Но оно не единственно: например, у любой электромагнитной волны и плотность заряда, и плотность тока равны $\mathbf{0}$. Как максимально сохраняя простоту проверки условий существования дополнить этот набор данных так, чтобы заработать единственность?

[DimaM]

ArshakA в сообщении #1481648 писал(а):

Как максимально сохраняя простоту проверки условий существования дополнить этот набор данных так, чтобы заработать единственность?

А просто задать ${\bf E}({\bf r}, t), {\bf H}({\bf r}, t)$ нельзя по каким соображениям?
Или более экономично $\varphi({\bf r}, t), {\bf A}({\bf r}, t)$.

[ArshakA]

DimaM можно, но качественно сложнее проверять уравнения Максвелла существование, об этом речь.

[amon]

ArshakA в сообщении #1481648 писал(а):

насколько я понимаю (поправьте, если неверно) для любой пары плотности заряда $\rho$ и плотности тока $j $ такой, что
* $\rho$ и $j$ непрерывны,
* если $\rho(p) = 0$, то $ j(p) = 0$
существует электромагнитное поле в вакууме с такими данными.

Не понял, кто такой $p$, но в любом случае это утверждение неверно. Должно еще выполняться $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{j}=0$. В этом случае можно заработать единственность, наложив соответствующие условия убывания на бесконечности.

[ArshakA]

amon имелось ввиду "для любой точки $p \in \mathbb{R}^3$ : ...

[Theoristos]

ArshakA в сообщении #1481740 писал(а):

amon имелось ввиду "для любой точки $p \in \mathbb{R}^3$ : ...

Ну, то что оно неверно, и вместо него должно быть соотношение сохранения заряда - вам уже почти написали.
А кроме этого - как всегда, начальные и граничные условия для поля/потенциалов.

[Slav-27]

amon в сообщении #1481689 писал(а):

Должно еще выполняться $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{j}=0$. В этом случае можно заработать единственность, наложив соответствующие условия убывания на бесконечности.

Оказывается, это называется уравнения Ефименко.

[amon]

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1481823 писал(а):

Оказывается, это называется уравнения Ефименко.

Забавно. Не знал, спасибо. Нам эту задачку А.Н. Васильев в качестве домашнего задания давал.

[ArshakA]

Theoristos в сообщении #1481815 писал(а):

вместо него должно быть соотношение сохранения заряда

Theoristos да, это я понял, спасибо.
amon, спасибо! не понял правда, что за условие убывания на бесконечности.
Slav-27 спасибо большое! А что это за интегралы? (если определенные интегралы по $\mathbb{R}^3$ , то поле однозначно определяется плотностью заряда и тока, что неверно, а если неопределенные, то справа останется $r'$ которого нет слева.. )

(Оффтоп)

ой, я в начале ошибся $j$ и $\rho$ от времени тоже зависят же, да, а не только от "$p$" :)

[amon]

ArshakA в сообщении #1481884 писал(а):

что за условие убывания на бесконечности.

Если за копейки не биться, то заряды и токи отличны от нуля в конечной области, а поля убывают не медленнее чем $\frac{1}{R^2}.$

[Theoristos]

Slav-27 в сообщении #1481823 писал(а):

amon в сообщении #1481689 писал(а):

Должно еще выполняться $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{j}=0$. В этом случае можно заработать единственность, наложив соответствующие условия убывания на бесконечности.

Оказывается, это называется уравнения Ефименко.

А то, что для одиночного заряда они в самом начале 21-й главы 6 тома ФЛФ написаны - как это называется?

[Prisma]

(Оффтоп)

Олег Ефименко получил степень бакалавра в 1952 году в Колледже Луиса и Кларка (штат Орегон), а магистрскую степень — в университете штата Орегон в 1954 году, в том же университете в 1956 году им была получена степень доктора философии. Занимался проблемой запаздывания сигналов в теории относительности. Им были написаны уравнения, описывающие поведение электрического и магнитного полей в терминах запаздывающих источников и носящих его имя[1]. Хотя близкие выражения этих уравнений были высказаны чуть ранее, тем не менее именно Ефименко, как полагают, был первым, кто в 1966 году выписал эти уравнения в явном виде, обеспечив, тем самым, завершённость классической электродинамике[1][2].

[Slav-27]

ArshakA

ArshakA в сообщении #1481884 писал(а):

А что это за интегралы? (если определенные интегралы по $\mathbb{R}^3$ , то поле однозначно определяется плотностью заряда и тока, что неверно

Определённые, по всему $\mathbb R^3$. amon говорит, что среди всех решений для заданных $\rho(t,\mathbf r),\mathbf j(t,\mathbf r)$ только одно правильным образом убывает на бесконечности. Например, для покоящегося точечного заряда (закон Кулона) $\mathbf E(t,\mathbf r)=\dfrac {q}{\mathbf r^2}\dfrac{\mathbf r}{|\mathbf r|}, \mathbf B(t,\mathbf r)=0$; если бы мы не требовали убывания на бесконечности, то можно было бы прибавить сюда произвольное решение уравнения без источников (например, произвольную постоянную).

Theoristos

Theoristos в сообщении #1481913 писал(а):

А то, что для одиночного заряда они в самом начале 21-й главы 6 тома ФЛФ написаны - как это называется?

Это называется потенциалы Лиенара -- Вихерта, причём последнее название общеупотребительно, а про Ефименко я никогда раньше не слышал, и я хотел не прорекламировать название, а показать решение.

Всем
А почему при условиях убывания на бесконечности решение единственно? Или хотя бы на точную формулировку хочется посмотреть (там точно ничего про производные не надо требовать?). Во-первых, уравнения Максвелла линейны, так что если 2 решения удовлетворяет этим условиям для одних и тех же $\rho$ и $\mathbf j$, то их разность является решением уравнений Максвелла без источников ($\rho=0,\mathbf j=0$) и тоже удовлетворяет этим условиям. Поэтому надо понять, что без источников решение только нулевое... Я примерно понимаю только стационарный случай: тогда уравнения Максвелла сводятся к $\Delta A^\mu=0$, то есть все компоненты вектор-потенциала гармонические функции, а непостоянные гармонические функции не могут быть даже ограничены (теорема Лиувилля).

[Theoristos]

Slav-27 в сообщении #1482051 писал(а):

Theoristos в сообщении #1481913 писал(а):

А то, что для одиночного заряда они в самом начале 21-й главы 6 тома ФЛФ написаны - как это называется?

Это называется потенциалы Лиенара -- Вихерта, причём последнее название общеупотребительно

Если не полениться, и таки открыть ту главу, то можно узреть отнюдь не потенциалы, а очень знакомые выражения для E и B. Только без интегралов.
А потенциалы там чуть дальше, в параграфе 6.

[Slav-27]

(Оффтоп)

Извините, я на 26-ю посмотрел почему-то