Полный набор данных электромагнитного поля

[svv]

Slav-27 в сообщении #1482051 писал(а):

Поэтому надо понять, что без источников решение только нулевое...

Если поле без источников, то $u$ — любая декартова компонента $\mathbf E$ или $\mathbf B$ — удовлетворяет волновому уравнению. Выберем произвольную точку $O$, перенесём в неё начало координат. По полю $u(t,\mathbf r)$ построим новое поле $f(t,\mathbf r)$, равное среднему от $u(t,\mathbf r)$ по сфере радиусом $r$ с центром в $O$. Поле $f$ тоже удовлетворяет волновому уравнению, но уже сферически симметрично, так что можно писать $f(t,r)$. В сферических координатах (полагая $c=1$)
$\dfrac 1{r^2}\dfrac {\partial}{\partial r}\left( r^2 \dfrac {\partial f}{\partial r}\right)= \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}$ , откуда $\dfrac {\partial^2(rf)}{\partial r^2}=\dfrac{\partial^2(rf)}{\partial t^2}$
Это уравнение имеет общее решение
$f=\dfrac{F(t-r)+G(t+r)}r$
Чтобы в $O$ поле было конечным, надо взять $G=-F$:
$f=\dfrac{F(t-r)-F(t+r)}r$
Пусть при $r>r_0$ выполняется условие amon $|u(t,\mathbf r)|<Cr^{-2{$, тогда то же верно для $f(t,r)$, и
$|F(t+\Delta t)-F(t)|<2C(\Delta t)^{-1}$
Беря две близкие точки $t_0,t_1$ и очень далёкую от них $t_2$, получим, что $|F(t_1)-F(t_0)|$ меньше как угодно малого $\varepsilon>0$, т.е. функция $F$ — константа, а поля $u$ и $f$ нулевые.

[Theoristos]

svv в сообщении #1482114 писал(а):

Если поле без источников, то
...
Беря две близкие точки $t_0,t_1$ и очень далёкую от них $t_2$, получим, что $|F(t_1)-F(t_0)|$ меньше как угодно малого $\varepsilon>0$, т.е. функция $F$ — константа, а поля $u$ и $f$ нулевые.

Гм. А что понимается под "без источников"?

1. Берём исходное пространство с нулевым полем повсюду
2. В $t=0$ включем локальный источник, например в виде токового диполя в нуле координат, или ещё какой антенны.
3. В момент $t_1$ отключаем его.
4. В последующих временах, при $t>t_1$ есть некоторое ненулевое распределение полей в области $c t$ вокруг места где был источник. Самого источника нет. Это "поле без источников"?

[svv]

Нет, имелось в виду то же, что в цитате. $\rho(t, \mathbf r),\mathbf j(t,\mathbf r)$ тождественно нулевые.

Slav-27 в сообщении #1482051 писал(а):

если 2 решения удовлетворяет этим условиям для одних и тех же $\rho$ и $\mathbf j$, то их разность является решением уравнений Максвелла без источников ($\rho=0,\mathbf j=0$)