Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[alisa-lebovski]

Почувствуйте разницу.

[nnosipov]

vicvolf
Вы внимательно вчитайтесь в утверждение, которое Вам предлагают доказать. А потом соотнесите его с примером от alisa-lebovski.

Чтобы Вы не подумали чего плохого: доказав это утверждение, Вы наконец корректно обоснуете тот самый переход в формуле (16). Конечно, можно воспользоваться более простым рассуждением (ограниченностью, как Вы правильно заметили), но это потому, что сам конечный результат довольно груб. Но в более тонких ситуациях желательно "ничего не терять", и в этом следует упражняться. Вот Вам и предлагают такое упражнение.

[vicvolf]

Otta в сообщении #1480465 писал(а):

vicvolf
Я видела. А потом еще раз видела. А потом еще раз видела. Принципиально в том месте, о котором я и nnosipov Вас спрашиваем, ничего не меняется. Утверждение, может, и верно, но необосновано. И не надо еще раз постить то же самое, пожалуйста. От повторения аргумент убедительнее не становится.

nnosipov в сообщении #1480579 писал(а):

vicvolf
Конечно, можно воспользоваться более простым рассуждением (ограниченностью, как Вы правильно заметили),

[nnosipov]

vicvolf
Но это простое рассуждение у Вас записано плохо --- она (запись) производит впечатление, как будто бы речь идет о полном утверждении (которое Вам и предлагается доказать в качестве упражнения). Вам как минимум нужно корректно оформить это более простое рассуждение.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480561 писал(а):

vicvolf, Вы можете доказать, что если $x_n\to 0$, $n\to\infty,$ то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m\to 0,\quad n\to\infty?$$

Это будет только в случае, если

$$\sum_{m=1}^n x_m=o(n).$$

Если ряд $\sum_{m=1}^{\infty} x_m$ - сходится, то это выполняется, так как в этом случае $\sum_{m=1}^n x_m=O(1)$.

Если ряд $\sum_{m=1}^{\infty} x_m$ - расходится, но выполняется условие $x_n\to 0$, то на основании формулы Эйлера-Маклорена $\sum_{m=1}^n x_m=\int_1^n {x(t)dt}+O(1)$. Поэтому для выполнения этого требования достаточно, чтобы

$$\int_1^n {x(t)dt}=o(n).$$

[nnosipov]

vicvolf
Не годится, потому что функция $x(t)$ Вами не определена.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1480639 писал(а):

vicvolf
Не годится, потому что функция $x(t)$ Вами не определена.

Пусть $x(t)$ - достаточно гладкая функция при $t \geq 1$, чтобы использовать формулу Эйлера-Маклорена.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1480636 писал(а):

Это будет только в случае, если

Это в любом случае, если $x_n\to 0$.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480693 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480636 писал(а):

Это будет только в случае, если

Это в любом случае, если $x_n\to 0$.

А как же Ваш пример? Почему среднее не стремиться к нулю?

alisa-lebovski в сообщении #1480296 писал(а):

Рассмотрим вот такое усреднение:

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{n}{(n-2k)^2+1}.$$

Каждое слагаемое (при фиксированном $k$) стремится к нулю при $n\to\infty$. Казалось бы, и среднее должно стремиться к нулю, но нет.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1480702 писал(а):

А как же Ваш пример? Почему среднее не стремиться к нулю?

Потому что слагаемые зависят от двух переменных, а не от одной.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480704 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480702 писал(а):

А как же Ваш пример? Почему среднее не стремиться к нулю?

Потому что слагаемые зависят от двух переменных, а не от одной.

Ясно. Если $x_m$ конкретная функция, то доказательство понятно. Если известно только, что $x_m=o(1)$, то доказательство делается исходя из определения предела?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1480716 писал(а):

доказательство делается исходя из определения предела?

В принципе, да.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480561 писал(а):

vicvolf, Вы можете доказать, что если $x_n\to 0$, $n\to\infty,$ то

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n x_m\to 0,\quad n\to\infty?$$

или

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n o(1)=o(1)?$$

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1480780 писал(а):

или

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n o(1)=o(1)?$$

А вот такая запись не очень корректна, потому что слева имеется в виду $o(1)$ по $m$ (а могло бы иметься также в виду по $n$ при каждом $m$, как в моем примере, или еще как-то зависящее от двух переменных), а справа $o(1)$ по $n$.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480784 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480780 писал(а):

или

$$\frac{1}{n}\sum_{m=1}^n o(1)=o(1)?$$

А вот такая запись не очень корректна, потому что слева имеется в виду $o(1)$ по $m$ (а могло бы иметься также в виду по $n$ при каждом $m$, как в моем примере, или еще как-то зависящее от двух переменных), а справа $o(1)$ по $n$.

Хорошо, тогда я правильно записал:

$$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {(|-\gamma -\ln\ln(m)|+|\ln(1+o(1))|)}=\gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {(\ln\ln(m))}+o(1)?$$

Слева под суммой выражение зависит от $m$, а справа от $n$.

Если бы я уточнил

$$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|-\gamma -\ln\ln(m)|+\frac {1} {n}}\sum_{m=1}^n|{\ln(1+o(1))|}=\gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {(\ln\ln(m))}+o(1),$$

то было бы не понятно, от чего зависит выражение под второй суммой слева.