Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480224 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480207 писал(а):

Сравним асимптотики (25) и (29). Главные члены этих асимптотик различаются на постоянную $2e^{-\gamma}$.

По-моему, вторая неправильная. Нельзя сразу переходить к пределу в множителях. Там хитро: с одной стороны, множители сходятся, а с другой стороны - их количество в произведении растет.

Это не мною доказано. Это третья теорема Мертенса https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 1%81%D0%B0

Otta в сообщении #1480215 писал(а):

Вы переходите к эквивалентности в сумме. Нельзя.

Это не сумма, а среднее значение. Вместе с суммой растет $n$ в знаменателе.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1480262 писал(а):

Это не сумма, а среднее значение. Вместе с суммой растет $n$ в знаменателе.

И Вы переходите к эквивалентностям в каждом слагаемом числителя, так? В сумме.

[vicvolf]

Otta в сообщении #1480265 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480262 писал(а):

Это не сумма, а среднее значение. Вместе с суммой растет $n$ в знаменателе.

И Вы переходите к эквивалентностям в каждом слагаемом числителя, так? В сумме.

Нет, справа $\gamma$ получена уже после деления на $n$ и далее тоже.

[Otta]

vicvolf в сообщении #1480268 писал(а):

Нет, справа $\gamma$ получена уже после деления на $n$ и далее тоже.

Меня не интересует, что было после деления. Расскажите, что Вы делали до. Я и так вижу, для себя расскажите.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1480262 писал(а):

Это не мною доказано. Это третья теорема Мертенса

К Мертенсу претензий нет. Неверно (28), поскольку при конечных $n$ нельзя сразу использовать асимптотическую независимость и предельные вероятности.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1480262 писал(а):

Это не сумма, а среднее значение.

Это не обоснование. Напишите подробно, почему верен знак $\sim$ в (16).

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480272 писал(а):

Наверно (28), поскольку при конечных $n$ нельзя сразу использовать асимптотическую независимость и предельные вероятности.

Да, именно это я и хотел показать!

[Otta]

vicvolf

alisa-lebovski в сообщении #1480272 писал(а):

Неверно (28)

vicvolf в сообщении #1480280 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1480272 писал(а):

Наверно (28), [...]

Да, именно это я и хотел показать!

Что именно из этого?

[vicvolf]

Otta в сообщении #1480281 писал(а):

vicvolf Что именно из этого?

vicvolf в сообщении #1480207 писал(а):

Посмотрим, какая ошибка получится, если положить асимптотическую плотность подмножества натурального ряда вероятностью, на одном из подмножеств натурального ряда - последовательности простых чисел.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1480279 писал(а):

Напишите подробно, почему верен знак $\sim$ в (16).

Воспользуемся тем, что в (15) значение $\frac {\varphi(m)} {m}=\prod_{p \leq m} {(1-1/p)} \sim \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}$ и получим:

$$A_n=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {\varphi(m)} {m}|}=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}(1+o(1))|}=$$

$$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|-\gamma -\ln\ln(m)|+|\ln(1+o(1))|}=\gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}+o(1)$$

или , подсчитав сумму через интеграл, получим:

$$A_n \sim \gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\gamma+\ln\ln(n)+O(1/\ln(n)),(16)$$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

[nnosipov]

В цепочке равенств для $A_n$ Вы $1+o(1)$ константой считаете, что ли? Третий знак равенства поясните.

[alisa-lebovski]

Рассмотрим вот такое усреднение:

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{n}{(n-2k)^2+1}.$$

Каждое слагаемое (при фиксированном $k$) стремится к нулю при $n\to\infty$. Казалось бы, и среднее должно стремиться к нулю, но нет.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1480288 писал(а):

получим:

$$A_n \sim \gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\gamma+\ln\ln(n)+O(1/\ln(n)),(16)$$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

И еще один вопрос: а какой резон упоминать здесь (в этой формуле) константу $\gamma$ и О-большое? Чем хуже более простая формула $A_n \sim \ln{\ln{n}}$?

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1480296 писал(а):

Рассмотрим вот такое усреднение:

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{n}{(n-2k)^2+1}.$$

Каждое слагаемое (при фиксированном $k$) стремится к нулю при $n\to\infty$. Казалось бы, и среднее должно стремиться к нулю, но нет.

Спасибо, понимаю.

-- 22.08.2020, 17:54 --

nnosipov в сообщении #1480304 писал(а):

vicvolf в сообщении #1480288 писал(а):

получим:

$$A_n \sim \gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\gamma+\ln\ln(n)+O(1/\ln(n)),(16)$$

где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

И еще один вопрос: а какой резон упоминать здесь (в этой формуле) константу $\gamma$ и О-большое? Чем хуже более простая формула $A_n \sim \ln{\ln{n}}$?

Конечно, как раз думаю об этом.

-- 22.08.2020, 18:11 --

nnosipov в сообщении #1480292 писал(а):

В цепочке равенств для $A_n$ Вы $1+o(1)$ константой считаете, что ли? Третий знак равенства поясните.

Конечно не постоянная.$|\ln(1+o(1))|$ - это положительная функция, стремящаяся к нулю при $n \to \infty$, но мне достаточно, что $|\ln(1+o(1))| \leq C$. Тогда, учитывая, что в (15) значение $\frac {\varphi(m)} {m}=\prod_{p \leq m} {(1-1/p)} \sim \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}$, получим:

$$A_n=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {\varphi(m)} {m}|}=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}(1+o(1))|}=$$

$$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|-\gamma -\ln\ln(m)|+|\ln(1+o(1))|}=\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}+O(1)$$

или , подсчитав сумму через интеграл, получим:

$$A_n \sim \frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\ln\ln(n),(16)$$

.

[nnosipov]

vicvolf
Вокруг третьего знака равенства все как было, так и осталось. Ну, не хотите как хотите, хотя могли бы и что-нибудь полезное для себя узнать.