Рассмотрим вот такое усреднение:
![$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{n}{(n-2k)^2+1}.$$ $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{n}{(n-2k)^2+1}.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/6/976f41c870cd2ebe06417488d0c2060082.png)
Каждое слагаемое (при фиксированном
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
) стремится к нулю при
![$n\to\infty$ $n\to\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/3/6c36031acca07a801eb81a809102fc9282.png)
. Казалось бы, и среднее должно стремиться к нулю, но нет.
Спасибо, понимаю.
-- 22.08.2020, 17:54 --получим:
![$$A_n \sim \gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\gamma+\ln\ln(n)+O(1/\ln(n)),(16)$$ $$A_n \sim \gamma+\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\gamma+\ln\ln(n)+O(1/\ln(n)),(16)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/4/f44e6ad19331a3e4229ea6e86e3c341e82.png)
где
![$\gamma$ $\gamma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c596de17c342edeed29f489aa4b27482.png)
- постоянная Эйлера.
И еще один вопрос: а какой резон упоминать здесь (в этой формуле) константу
![$\gamma$ $\gamma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c596de17c342edeed29f489aa4b27482.png)
и О-большое? Чем хуже более простая формула
![$A_n \sim \ln{\ln{n}}$ $A_n \sim \ln{\ln{n}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/f/7ff9a5c499779417df3ec11430ba71e482.png)
?
Конечно, как раз думаю об этом.
-- 22.08.2020, 18:11 --В цепочке равенств для
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
Вы
![$1+o(1)$ $1+o(1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/e/f5ebba364f6abab94432d5ce8ad43f0d82.png)
константой считаете, что ли? Третий знак равенства поясните.
Конечно не постоянная.
![$|\ln(1+o(1))|$ $|\ln(1+o(1))|$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/4/d24abfdf65f426c883ca12505b4b3be982.png)
- это положительная функция, стремящаяся к нулю при
![$n \to \infty$ $n \to \infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/5/8e5ac09b149a8f375637b349458e91e182.png)
, но мне достаточно, что
![$|\ln(1+o(1))| \leq C$ $|\ln(1+o(1))| \leq C$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/2/31205ec18cd6c9f457a364388b54e55982.png)
. Тогда, учитывая, что в (15) значение
![$\frac {\varphi(m)} {m}=\prod_{p \leq m} {(1-1/p)} \sim \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}$ $\frac {\varphi(m)} {m}=\prod_{p \leq m} {(1-1/p)} \sim \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/2/572677d9fdfb7ea0e540faa92e10991282.png)
, получим:
![$$A_n=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {\varphi(m)} {m}|}=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}(1+o(1))|}=$$ $$A_n=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {\varphi(m)} {m}|}=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|\ln \frac {e^{-\gamma}}{\ln(m)}(1+o(1))|}=$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/9/d39325036ce83091993a031ad1f41df482.png)
![$$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|-\gamma -\ln\ln(m)|+|\ln(1+o(1))|}=\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}+O(1)$$ $$=\frac {1} {n} \sum_{m=1}^n {|-\gamma -\ln\ln(m)|+|\ln(1+o(1))|}=\frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}+O(1)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/2/4529f8ff3bdf2a7b6ac5efb4c830b6ba82.png)
или , подсчитав сумму через интеграл, получим:
![$$A_n \sim \frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\ln\ln(n),(16)$$ $$A_n \sim \frac {1}{n}\sum_{m=1}^n {\ln\ln(m)}=\ln\ln(n),(16)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/5/8f5e85985abcb1b963499180bf68866d82.png)
.