Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1478477 писал(а):

После знака равенства написано множество, которое от $m$ не зависит.

Давайте зафиксируем $n$, например $n=10$, и рассмотрим выражение в фигурных скобках $\{m: m \leq 10, |f(m)-A_{10}| \leq \sigma_{10} b(10)\}.$ Начнем с арифметической функции. Значения арифметической функции $f(m)$ при $m=1,...,10$ зависят от $m$, если конечно она не является постоянной. Неравенство $|f(m)-A_{10}| \leq \sigma_{10} b(10)$, в общем случае, при некоторых значениях $m=1,...,10$ может выполняться, а при некоторых может не выполняться, т.е. также зависит от $m$.

[alisa-lebovski]

Обратимся к энциклопедии "Вероятность и математическая статистика" (1999), статья "Вероятностная теория чисел", там употребляются обозначения, например,

$$P_n(|h(m)-C_n|>D_n)=o(1).$$

То есть официально подразумевается, что $m$, стоящее под знаком $P_n$ - это число, пробегающее все значения $m\le n$ при вычислении $P_n$, и неравенство $m\le n$ там не пишется. Таким образом, из фигурной скобки в формулировке $A(m,n)$ можно убрать и $m: m\le n$, оставив только содержательное неравенство. А под знаком решетки все правильно.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1478537 писал(а):

$\{m: m \leq 10, |f(m)-A_{10}| \leq \sigma_{10} b(10)\}.$

Какой смысл в этой записи имеют фигурные скобки? Зависит ли от $m$ множество $\{m: m^2 \leqslant n\}$?

Похоже, ТС не различает множество и предикат, с помощью которого это множество строится.

[alisa-lebovski]

Ну, не различает, это не самое страшное. Я тоже проглядела. Правильно будет

$$A(m,n)=\{|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

Дальше подразумевается, что $P_n$ подставляет в $A(m,n)$ все $m\le n$, вычисляя долю верных утверждений:

vicvolf в сообщении #1478419 писал(а):

$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}} {n} \to 1, n \to \infty.$$

[nnosipov]

alisa-lebovski в сообщении #1478541 писал(а):

Ну, не различает, это не самое страшное.

Не согласен. Для ТС это просто катастрофично. Мы уже не раз наблюдали подобную неряшливость, и ничего хорошего из этого не получалось.

alisa-lebovski в сообщении #1478541 писал(а):

Правильно будет

$$A(m,n)=\{|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

Что за объект находится справа от знака равенства? Фигурные скобки что означают?

[alisa-lebovski]

nnosipov в сообщении #1478542 писал(а):

Не согласен. Для ТС это просто катастрофично. Мы уже не раз наблюдали подобную неряшливость, и ничего хорошего из этого не получалось.

Проблемы с непониманием разницы между случайной величиной и случайным процессом, на мой взгляд, гораздо хуже. Но вроде я объяснила.

nnosipov в сообщении #1478542 писал(а):

Что за объект находится справа от знака равенства? Фигурные скобки что означают?

Утверждение о числах $m,n$, которое истинно или ложно. Теперь то что не так?

[nnosipov]

alisa-lebovski в сообщении #1478544 писал(а):

Теперь то что не так?

Возникает путаница с множеством: фигурные скобки можно трактовать как обозначение множества.

-- Ср авг 12, 2020 16:23:07 --

alisa-lebovski в сообщении #1478544 писал(а):

Проблемы с непониманием разницы между случайной величиной и случайным процессом, на мой взгляд, гораздо хуже.

Разумеется. Но, мне кажется, до этой проблемы ТС должен еще дорасти.

[alisa-lebovski]

nnosipov в сообщении #1478546 писал(а):

Возникает путаница с множеством: фигурные скобки можно трактовать как обозначение множества.

Но ошибки в этом нет. В теории вероятностей утверждения часто изображаются фигурными скобками.

[Otta]

nnosipov в сообщении #1478460 писал(а):

vicvolf в сообщении #1478419 писал(а):

$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

Странная формула: выражение слева от знака равенства зависит от $m$, а выражение справа --- нет.

Да, странная.

$$A(n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

было бы все же логичнее.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1478546 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1478544 писал(а):

Теперь то что не так?

Возникает путаница с множеством: фигурные скобки можно трактовать как обозначение множества.

Давайте в выражении для $A(m,n)$ вообще уберем скобки и будет, как в статье:

$$A(m,n)=|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n).$$

и

$$P_n(A(m,n))=P_n(|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)).$$

[alisa-lebovski]

Otta в сообщении #1478550 писал(а):

Да, странная.

$$A(n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$

было бы все же логичнее.

Но не то, что нужно. Это было бы утверждение, что неравенство выполняется для всех $m$, а нам надо определить, для каких выполняется, а для каких нет.

-- Ср авг 12, 2020 12:38:01 --

vicvolf в сообщении #1478551 писал(а):

Давайте в выражении для $A(m,n)$ вообще уберем скобки

$$A(m,n)=|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n).$$

Нет, так еще хуже. Иногда еще пишут для утверждений вместо фигурных скобок кавычки, но это когда речь идет о словесных утверждениях, а среди математических обозначений будет странно. Я считаю, можно оставить фигурные скобки. Не знаю, что еще можно сделать.

[Otta]

Почему? Это "множество всех чисел, не превосходящих $n$, для которого выполнено неравенство. Нам именно количество этих чисел нужно. С самими числами мы, кажется, не работаем, нам важно их количество.
Если где-то потом работаем, то такой записи недостаточно, да.

[alisa-lebovski]

Otta в сообщении #1478554 писал(а):

Почему? Это "множество всех чисел, не превосходящих $n$, для которого выполнено неравенство. Нам именно количество этих чисел нужно. С самими числами мы, кажется, не работаем, нам важно их количество.
Если где-то потом работаем, то такой записи недостаточно, да.

Я бы предложила придерживаться официально используемых в этой науке обозначений (см. выше ссылку на энциклопедию), согласно которым в $P_n(.)$ подставляется утверждение о числах $m\le n$ - и это утверждение я ранее обозначила $A(m,n)$.

[nnosipov]

alisa-lebovski в сообщении #1478552 писал(а):

Это было бы утверждение, что неравенство выполняется для всех $m$, а нам надо определить, для каких выполняется, а для каких нет.

Да ничего подобного, это запись и воспринимается как "множество тех и только тех $m$, для которых выполнены неравенства, указанные после двоеточия". Это совершенно стандартная трактовка (школьников так учат).

alisa-lebovski в сообщении #1478552 писал(а):

Иногда еще пишут для утверждений вместо фигурных скобок кавычки

И очень правильно делают.

alisa-lebovski в сообщении #1478552 писал(а):

Не знаю, что еще можно сделать.

По возможности избегать путаницы и двойного толкования обозначений. Словами писать, наконец: пусть $A(m,n)$ --- это свойство "$m \leqslant n$ и что там еще нужно".

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478539 писал(а):

Обратимся к энциклопедии "Вероятность и математическая статистика" (1999), статья "Вероятностная теория чисел", там употребляются обозначения, например,

$$P_n(|h(m)-C_n|>D_n)=o(1).$$

vicvolf в сообщении #1478551 писал(а):

Давайте в выражении для $A(m,n)$ вообще уберем скобки и будет, как в статье:

$$A(m,n)=|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n).$$

и

$$P_n(A(m,n))=P_n(|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)).$$

Что не устраивает?