«Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
(1)
где
- биномиальные коэффициенты,
неотрицательное целое число.» (Википедия)
Чтобы представить себе происхождение этой формулы, возьмем
в виде произведения скобок и снабдим каждое
соответствующим индексом, а
оставим без индекса:
Теперь, когда мы, «пометили» величины
, относящиеся к разным скобкам, проследим, что с ними происходит в процессе разложения бинома. Для этого на некоторое время остановимся на том этапе, когда скобки уже перемножены, а подобные члены еще не приведены.
Сделаем это сначала при
:
Мы получили разложение бинома неприведенного вида, то есть бинома с неприведенными подобными членами (хотя и перегруппированными по степеням
для лучшего обзора), для
.
В этом разложении при каждом
в первой степени имеется сомножитель, представляющий собой произведение элементов множества
.
Поскольку степень одночлена равна сумме показателей степеней сомножителей, которые его составляют, то число этих элементов равно двум, и эти два элемента выбираются из
всевозможными, то есть
, способами.
При этом ни одно из выбранных сочетаний элементов множества
не повторяется, и ни в одном сочетании нет одинаковых элементов (см. далее о разложении бинома при произвольном
).
Поэтому в этом разложении
со своими коэффициентами встречается 3 раза.
Соответственно,
(с коэффициентами) встречается
раза,
(с коэффициентом
) --
раз,
(с коэффициентом
) --
раз.
Представим (1) в более подробном виде, то есть выпишем еще и предпоследний член, а также все степени
и
:
Мы видим, что степени
возрастают от
до
слева направо, а степени
возрастают от
до
справа налево.
Так что нумеровать члены бинома можно как слева направо, так и справа налево.
Заметим, что крайний член, с которого начинается отсчет в сторону возрастания, удобнее называть не первым, а нулевым, в том отношении, что тогда номер члена будет совпадать со степенью величины (
или
), относительно которой идет отсчет.
Мы будем нумеровать члены бинома слева направо - то есть вести отсчет относительно
, - и
считать нулевым членом — на том основании, что сомножителем в нем является
в нулевой степени.
будем считать
-ым членом, поскольку
, относительно которого идет отсчет, имеет степень
, а
(который нам встретится позже) считать
-ым членом, поскольку степень
в нем равна
.
Теперь разложим бином при произвольном
- причем также остановимся на неприведенном виде его разложения:
Поскольку после перемножения скобок степень каждого из полученных слагаемых равна сумме показателей степеней сомножителей, из которых оно состоит, то при произвольном
для получения произведений, являющихся в (2) множителями при
, из множества
берем всякий раз
элементов, и эти
элементов выбираем из
всевозможными, то есть
способами.
Сначала берем элементы с первого по
-ый, затем, сохраняя все остальные, вместо
-го берем
-ый, затем, так же, сохраняя все остальные, вместо
-ого берем
-ый и так далее, пока не возьмем последнего, то есть
-ого элемента множества
.
Затем повторяем операцию, исключив из
второй элемент.
Исчерпав все возможности с участием первого элемента, исключаем его из
и повторяем все сначала, начиная со второго элемента.
Действуем таким образом, пока не получим всех возможных сочетаний элементов множества
по
элементов в каждом, при этом в самом конце берем последние
элементов множества
.
(По этому же принципу у нас выбраны сочетания
в биноме при
=3.)
Таким образом, в качестве сомножителя при каждом
мы получаем произведение
элементов множества
, причем его элементы в одном и том же произведении не повторяются, и все эти произведения разные.
Это находится в соответствии с тем, что, во-первых, при перемножении скобок ни одно слагаемое ни одной из этих скобок не умножается само на себя, и поэтому элементы множества
в одном и том же произведении не могут повторяться, а во-вторых,
элементов из
для произведений, являющихся сомножителями при
выбираются
всевозможными способами, и, разумеется, способы эти разные.
В результате этой операции мы получим
сочетаний из
элементов множества
по
.
(При этом в каждом сочетании элементы будут представлены в упорядоченном виде по своим индексам, то есть индекс первого элемента будет меньше индекса второго и так далее, несмотря на то, что в сочетании порядок элементов не имеет значения.
Однако заметим, что именно потому, что порядок не имеет значения, они могут быть упорядочены, что дает нам возможность записать это выражение в той форме, в какой оно записано. Если бы они не были упорядочены, это было бы затруднительно, если вообще возможно.
Хотя, разумеется, надо иметь в виду, что, как сказано, упорядоченность элементов в сочетании не предполагается - именно поэтому в знаменателе выражения
стоит
).
Соответственно,
(со своими сомножителями) до приведения подобных членов встречается в разложении
раз, а после приведения умножается на сумму
всевозможных произведений
элементов из множества
:
А так как
, то все эти произведения равны между собой, каждое такое произведение можно представить как
-ую степень
:
а их сумма (как сумма равных слагаемых в количестве
штук) составит
.
То есть при произвольном
есть
-ый член разложения приведенного бинома (член, который состоит из суммы всех слагаемых неприведенного бинома, содержащих
), и коэффициент при
равен
.
Нулевой (потому что в нем
имеет нулевую степень) член
также может быть представлен как степень
.
Таким образом,
Теперь, исходя из того,что
это произвольный член приведенного бинома (произвольный, поскольку
бралось произвольное), представим эту формулу в более подробном виде.
Так как
это
-тый член приведенного бинома, а в нулевом члене
имеет нулевую степень, то в нулевом члене
.
Соответственно, в
-ом члене
.
Так что
Правда, у нас получилось не совсем то, что в (1), там:
или, если выписать еще и предпоследний член, а также все степени
и
:
У нас:
Однако, если бы мы вели наши рассуждения не относительно
, а относительно
, и снабжали индексами не
, а
:
то считали бы
степенью
, и тогда у нас получилось бы:
или, если не выписывать предпоследний член:
что совпадает с (1).
Или же пусть
будет по-прежнему степенью
, но, учитывая, что
- то есть что
биномиальные коэффициенты симметричны, - мы можем переписать наше выражение:
заменяя
на
.
Получим:
Здесь в правой части равенства в выражениях, стоящих в скобках, внизу стоят уже степени
, и поскольку между
и
вместо члена, содержащего
, можно взять член, содержащий
- при этом вместо
станет
, и вместо
станет
, - мы получим:
что также совпадает с (1).
Правильно?