«Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

(1)
где

- биномиальные коэффициенты,

неотрицательное целое число.» (Википедия)
Чтобы представить себе происхождение этой формулы, возьмем

в виде произведения скобок и снабдим каждое

соответствующим индексом, а

оставим без индекса:

Теперь, когда мы, «пометили» величины

, относящиеся к разным скобкам, проследим, что с ними происходит в процессе разложения бинома. Для этого на некоторое время остановимся на том этапе, когда скобки уже перемножены, а подобные члены еще не приведены.
Сделаем это сначала при

:




Мы получили разложение бинома неприведенного вида, то есть бинома с неприведенными подобными членами (хотя и перегруппированными по степеням

для лучшего обзора), для

.
В этом разложении при каждом

в первой степени имеется сомножитель, представляющий собой произведение элементов множества

.
Поскольку степень одночлена равна сумме показателей степеней сомножителей, которые его составляют, то число этих элементов равно двум, и эти два элемента выбираются из

всевозможными, то есть

, способами.
При этом ни одно из выбранных сочетаний элементов множества

не повторяется, и ни в одном сочетании нет одинаковых элементов (см. далее о разложении бинома при произвольном

).
Поэтому в этом разложении

со своими коэффициентами встречается 3 раза.
Соответственно,

(с коэффициентами) встречается

раза,

(с коэффициентом

) --

раз,

(с коэффициентом

) --

раз.
Представим (1) в более подробном виде, то есть выпишем еще и предпоследний член, а также все степени

и

:


Мы видим, что степени

возрастают от

до

слева направо, а степени

возрастают от

до

справа налево.
Так что нумеровать члены бинома можно как слева направо, так и справа налево.
Заметим, что крайний член, с которого начинается отсчет в сторону возрастания, удобнее называть не первым, а нулевым, в том отношении, что тогда номер члена будет совпадать со степенью величины (

или

), относительно которой идет отсчет.
Мы будем нумеровать члены бинома слева направо - то есть вести отсчет относительно

, - и

считать нулевым членом — на том основании, что сомножителем в нем является

в нулевой степени.

будем считать

-ым членом, поскольку

, относительно которого идет отсчет, имеет степень

, а

(который нам встретится позже) считать

-ым членом, поскольку степень

в нем равна

.
Теперь разложим бином при произвольном

- причем также остановимся на неприведенном виде его разложения:


Поскольку после перемножения скобок степень каждого из полученных слагаемых равна сумме показателей степеней сомножителей, из которых оно состоит, то при произвольном

для получения произведений, являющихся в (2) множителями при

, из множества

берем всякий раз

элементов, и эти

элементов выбираем из

всевозможными, то есть

способами.
Сначала берем элементы с первого по

-ый, затем, сохраняя все остальные, вместо

-го берем

-ый, затем, так же, сохраняя все остальные, вместо

-ого берем

-ый и так далее, пока не возьмем последнего, то есть

-ого элемента множества

.
Затем повторяем операцию, исключив из

второй элемент.
Исчерпав все возможности с участием первого элемента, исключаем его из

и повторяем все сначала, начиная со второго элемента.
Действуем таким образом, пока не получим всех возможных сочетаний элементов множества

по

элементов в каждом, при этом в самом конце берем последние

элементов множества

.
(По этому же принципу у нас выбраны сочетания

в биноме при

=3.)
Таким образом, в качестве сомножителя при каждом

мы получаем произведение

элементов множества

, причем его элементы в одном и том же произведении не повторяются, и все эти произведения разные.
Это находится в соответствии с тем, что, во-первых, при перемножении скобок ни одно слагаемое ни одной из этих скобок не умножается само на себя, и поэтому элементы множества

в одном и том же произведении не могут повторяться, а во-вторых,

элементов из

для произведений, являющихся сомножителями при

выбираются

всевозможными способами, и, разумеется, способы эти разные.
В результате этой операции мы получим

сочетаний из

элементов множества

по

.
(При этом в каждом сочетании элементы будут представлены в упорядоченном виде по своим индексам, то есть индекс первого элемента будет меньше индекса второго и так далее, несмотря на то, что в сочетании порядок элементов не имеет значения.
Однако заметим, что именно потому, что порядок не имеет значения, они могут быть упорядочены, что дает нам возможность записать это выражение в той форме, в какой оно записано. Если бы они не были упорядочены, это было бы затруднительно, если вообще возможно.
Хотя, разумеется, надо иметь в виду, что, как сказано, упорядоченность элементов в сочетании не предполагается - именно поэтому в знаменателе выражения

стоит

).
Соответственно,

(со своими сомножителями) до приведения подобных членов встречается в разложении

раз, а после приведения умножается на сумму

всевозможных произведений

элементов из множества

:



![$$ = [{a_1}{a_2}...{a_n} + ... + (\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} + ... + \boxed{{a_{n - k + 1}}\ldots {a_{n - 1}}{a_n}}) \cdot b^{n - k} + ... + b^n].$$ $$ = [{a_1}{a_2}...{a_n} + ... + (\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} + ... + \boxed{{a_{n - k + 1}}\ldots {a_{n - 1}}{a_n}}) \cdot b^{n - k} + ... + b^n].$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/c/fccc9e5307dfa590e1154e07821740ac82.png)
А так как

, то все эти произведения равны между собой, каждое такое произведение можно представить как

-ую степень

:

а их сумма (как сумма равных слагаемых в количестве

штук) составит

.
То есть при произвольном

есть

-ый член разложения приведенного бинома (член, который состоит из суммы всех слагаемых неприведенного бинома, содержащих

), и коэффициент при

равен

.
Нулевой (потому что в нем

имеет нулевую степень) член

также может быть представлен как степень

.
Таким образом,

Теперь, исходя из того,что

это произвольный член приведенного бинома (произвольный, поскольку

бралось произвольное), представим эту формулу в более подробном виде.
Так как

это

-тый член приведенного бинома, а в нулевом члене

имеет нулевую степень, то в нулевом члене

.
Соответственно, в

-ом члене

.
Так что

![$$ = \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot {a^n}{b^{n - n}} + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot {a^{n - 1}}{b^{n - (n - 1)}} + ... + $$ $$ = \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot {a^n}{b^{n - n}} + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot {a^{n - 1}}{b^{n - (n - 1)}} + ... + $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/5/965cd5d0d58430bed41a4c6ac73f1d2f82.png)




Правда, у нас получилось не совсем то, что в (1), там:

или, если выписать еще и предпоследний член, а также все степени

и

:

У нас:

Однако, если бы мы вели наши рассуждения не относительно

, а относительно

, и снабжали индексами не

, а

:

то считали бы

степенью

, и тогда у нас получилось бы:




![$$ + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot a^{n - (n - 1)}b^{n - 1} + \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot a^{n - n}b^n = $$ $$ + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot a^{n - (n - 1)}b^{n - 1} + \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot a^{n - n}b^n = $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/3/5031779cf4601f933ac24c834a704a8d82.png)


или, если не выписывать предпоследний член:

что совпадает с (1).
Или же пусть

будет по-прежнему степенью

, но, учитывая, что

- то есть что
биномиальные коэффициенты симметричны, - мы можем переписать наше выражение:

заменяя

на

.
Получим:

Здесь в правой части равенства в выражениях, стоящих в скобках, внизу стоят уже степени

, и поскольку между

и

вместо члена, содержащего

, можно взять член, содержащий

- при этом вместо

станет

, и вместо

станет

, - мы получим:


что также совпадает с (1).
Правильно?