Бином Ньютона

[Vladimir Pliassov]

«Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

$(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \binom {n}{k} a^{n - k}b^k = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k} a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n$ (1)

где $\binom {n}{k} = \frac {n!}{k!(n - k)!} = C_n^k$ - биномиальные коэффициенты, $n$ неотрицательное целое число.» (Википедия)

Чтобы представить себе происхождение этой формулы, возьмем $(a + b)^n$ в виде произведения скобок и снабдим каждое $a$ соответствующим индексом, а $b$ оставим без индекса:

$$(a + b)^n = (a_1 + b) (a_2 + b) \ldots (a_n + b),\,\,\,\,a = a_1 = a_2 = \ldots = a_n.$$

Теперь, когда мы, «пометили» величины $a$, относящиеся к разным скобкам, проследим, что с ними происходит в процессе разложения бинома. Для этого на некоторое время остановимся на том этапе, когда скобки уже перемножены, а подобные члены еще не приведены.

Сделаем это сначала при $n=3$:

$$(a + b)^3 = (a_1 + b)(a_2 + b)(a_3 + b) = (a_1a_2 + a_1b + ba_2 + b^2) \cdot (a_3 + b) = $$

$$ = a_1a_2a_3 + a_1ba_3 + ba_2a_3 + b^2a_3 + a_1a_2b + a_1b^2 + ba_2b + b^3 = $$

$$ = a_1a_2a_3 + a_1a_3b + a_2a_3b + a_3b^2 + a_1a_2b + a_1b^2 + a_2b^2 + b^3 = $$

$$ = a_1a_2a_3 + \boxed{a_1a_2} \cdot b + \boxed{a_1a_3} \cdot b + \boxed{a_2a_3} \cdot b + a_1b^2 + a_2b^2 + a_3b^2 + b^3.$$

Мы получили разложение бинома неприведенного вида, то есть бинома с неприведенными подобными членами (хотя и перегруппированными по степеням $b$ для лучшего обзора), для $n=3$.

В этом разложении при каждом $b$ в первой степени имеется сомножитель, представляющий собой произведение элементов множества $ \{ a_1, a_2, a_3 \} $.

Поскольку степень одночлена равна сумме показателей степеней сомножителей, которые его составляют, то число этих элементов равно двум, и эти два элемента выбираются из $ \{ a_1, a_2, a_3 \} $ всевозможными, то есть $\binom {3}{2} = 3$, способами.

При этом ни одно из выбранных сочетаний элементов множества $\{ a_1, a_2, a_3 \}$ не повторяется, и ни в одном сочетании нет одинаковых элементов (см. далее о разложении бинома при произвольном $n$).

Поэтому в этом разложении $b$ со своими коэффициентами встречается 3 раза.

Соответственно, $b^2$ (с коэффициентами) встречается $\binom {3}{1} = 3$ раза, $b^3$ (с коэффициентом $a^0 = 1$) -- $\binom {3}{0} = 1$ раз, $b^0$ (с коэффициентом ${a_1}{a_2}{a_3}$) -- $\binom {3}{3} = 1$ раз.


Представим (1) в более подробном виде, то есть выпишем еще и предпоследний член, а также все степени $a$ и $b$:

$$(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \binom {n}{k} a^{n - k}b^k = $$

$$ = \binom {n}{0}{a^n}{b^0} + \binom {n}{1}{a^{n - 1}}{b^1} + \ldots + \binom {n}{k}{a^{n - k}}{b^k} + ... + \binom {n}{n-1}{a^1}{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}{a^0}{b^n}.$$

Мы видим, что степени $b$ возрастают от $0$ до $n$ слева направо, а степени $a$ возрастают от $0$ до $n$ справа налево.

Так что нумеровать члены бинома можно как слева направо, так и справа налево.

Заметим, что крайний член, с которого начинается отсчет в сторону возрастания, удобнее называть не первым, а нулевым, в том отношении, что тогда номер члена будет совпадать со степенью величины ($a$ или $b$), относительно которой идет отсчет.

Мы будем нумеровать члены бинома слева направо - то есть вести отсчет относительно $b$, - и ${a_1}{a_2}...{a_n}$ считать нулевым членом — на том основании, что сомножителем в нем является $b$ в нулевой степени. $ \frac {n!}{k!(n - k)!} a^{n - k}b^k$ будем считать $k$-ым членом, поскольку $b$, относительно которого идет отсчет, имеет степень $k$, а $\frac{n!}{k!(n - k)!} {a^k}b^{n - k}$ (который нам встретится позже) считать $(n-k)$-ым членом, поскольку степень $b$ в нем равна $(n-k)$.

Теперь разложим бином при произвольном $n$ - причем также остановимся на неприведенном виде его разложения:

$$(a + b)^n = (a_1 + b) (a_2 + b) \ldots (a_n + b) = $$

$$ = {a_1}{a_2}...{a_n} + ... + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} \cdot {b^{n - k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} \cdot {b^{n - k}} + ... +$$

$$ + \boxed{{a_{n - k + 1}}...{a_{n - 1}}{a_n}} \cdot {b^{n - k}} + ... + {b^n}. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) $$

Поскольку после перемножения скобок степень каждого из полученных слагаемых равна сумме показателей степеней сомножителей, из которых оно состоит, то при произвольном $k$ для получения произведений, являющихся в (2) множителями при $b^{n - k}$, из множества $ \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} $ берем всякий раз $k$ элементов, и эти $k$ элементов выбираем из $ \{a_1, a_2, \ldots, a_n \} $ всевозможными, то есть $\binom {n}{k}= \frac {n!}{k!(n-k)!}$ способами.

Сначала берем элементы с первого по $k$-ый, затем, сохраняя все остальные, вместо $k$-го берем $(k+1)$-ый, затем, так же, сохраняя все остальные, вместо $(k+1)$-ого берем $(k+2)$-ый и так далее, пока не возьмем последнего, то есть $n$-ого элемента множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$.

Затем повторяем операцию, исключив из $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ второй элемент.

Исчерпав все возможности с участием первого элемента, исключаем его из $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ и повторяем все сначала, начиная со второго элемента.

Действуем таким образом, пока не получим всех возможных сочетаний элементов множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \} $ по $k$ элементов в каждом, при этом в самом конце берем последние $k$ элементов множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$.

(По этому же принципу у нас выбраны сочетания $a_i $ в биноме при $n$=3.)

Таким образом, в качестве сомножителя при каждом $b^{n - k}$ мы получаем произведение $k$ элементов множества $\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} $, причем его элементы в одном и том же произведении не повторяются, и все эти произведения разные.

Это находится в соответствии с тем, что, во-первых, при перемножении скобок ни одно слагаемое ни одной из этих скобок не умножается само на себя, и поэтому элементы множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ в одном и том же произведении не могут повторяться, а во-вторых, $k$ элементов из $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ для произведений, являющихся сомножителями при $b^{n - k}$ выбираются $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ всевозможными способами, и, разумеется, способы эти разные.

В результате этой операции мы получим $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ сочетаний из $n$ элементов множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ по $k$.

(При этом в каждом сочетании элементы будут представлены в упорядоченном виде по своим индексам, то есть индекс первого элемента будет меньше индекса второго и так далее, несмотря на то, что в сочетании порядок элементов не имеет значения.

Однако заметим, что именно потому, что порядок не имеет значения, они могут быть упорядочены, что дает нам возможность записать это выражение в той форме, в какой оно записано. Если бы они не были упорядочены, это было бы затруднительно, если вообще возможно.

Хотя, разумеется, надо иметь в виду, что, как сказано, упорядоченность элементов в сочетании не предполагается - именно поэтому в знаменателе выражения $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ стоит $k!$).

Соответственно, $b^{n - k}$ (со своими сомножителями) до приведения подобных членов встречается в разложении $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ раз, а после приведения умножается на сумму $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ всевозможных произведений $k$ элементов из множества $ \{ a_1, a_2, \ldots, a_n\} $:

$$(a + b)^n = $$

$$ = {a_1}{a_2}...{a_n} + ... + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} \cdot b^{n - k} + \boxed{{a_1}{a_2} \ldots a_{k - 1} a_{k + 1}} \cdot b^{n - k} + ... + \boxed {a_{n - k + 1} \ldots a_{n - 1} a_n} \cdot b^{n - k} +$$

$$+ \ldots + b^n = $$

$$ = [{a_1}{a_2}...{a_n} + ... + (\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} + ... + \boxed{{a_{n - k + 1}}\ldots {a_{n - 1}}{a_n}}) \cdot b^{n - k} + ... + b^n].$$

А так как $a = a_1 = a_2 = ... = a_n$, то все эти произведения равны между собой, каждое такое произведение можно представить как $k$-ую степень $a$:

$$\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} = \boxed{{a_1}{a_2} \ldots {a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} = \ldots = \boxed{{a_{n - k + 1}}...{a_{n - 1}}{a_n}} = {a^k}, - $$

а их сумма (как сумма равных слагаемых в количестве $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ штук) составит $\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^k$.

То есть при произвольном $k$ $\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}}$ есть $(n-k)$-ый член разложения приведенного бинома (член, который состоит из суммы всех слагаемых неприведенного бинома, содержащих $b^{n - k}$), и коэффициент при ${a^k}{b^{n - k}}$ равен $\frac{n!}{k!(n - k)!}$.

Нулевой (потому что в нем $b$ имеет нулевую степень) член ${a_1}{a_2}...{a_n}$ также может быть представлен как степень $a$.

Таким образом,

$$(a + b)^n = a^n + ... + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + b^n.$$

Теперь, исходя из того,что

$$\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n – k}}$$

это произвольный член приведенного бинома (произвольный, поскольку $k$ бралось произвольное), представим эту формулу в более подробном виде.

Так как $\frac {n!}{k!(n-k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}}$ это $(n-k)$-тый член приведенного бинома, а в нулевом члене $b$ имеет нулевую степень, то в нулевом члене $k=n$.

Соответственно, в $n$-ом члене $k=0$.

Так что

$$(a + b)^n = {a^n} + ... + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + b^n = $$

$$ = \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot {a^n}{b^{n - n}} + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot {a^{n - 1}}{b^{n - (n - 1)}} + ... + $$

$$ + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + $$

$$ + \frac{n!}{1!(n - 1)!} \cdot {a^1}{b^{n - 1}} + \frac{n!}{0!(n - 0)!} \cdot {a^0}{b^{n - 0}} = $$

$$ = \binom {n}{n}{a^n}{b^0} + \binom {n}{n-1}{a^{n - 1}}{b^1} + \ldots + \binom {n}{k}{a^k}{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}{a^1}{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}{a^0}{b^n} = $$

$$ = \binom {n}{n}{a^n} + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k}{a^k}{b^{n - k}} + ... + \binom {n}{1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}b^n$$

Правда, у нас получилось не совсем то, что в (1), там:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n, - $$

или, если выписать еще и предпоследний член, а также все степени $a$ и $b$:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}{a^n}{b^0} + \binom {n}{1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}{a^1}b^{n - 1} + \binom {n}{n}a^0{b^n}.$$

У нас:

$$(a + b)^n = \binom {n}{n}a^n{b^0} + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}a^1{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}a^0{b^n}.$$

Однако, если бы мы вели наши рассуждения не относительно $a$, а относительно $b$, и снабжали индексами не $a$, а $b$:

$$(a + b)^n = (a + b_1)(a + b_2) \ldots (a + b_n),\,\,\,\,b = b_1 = b_2 = \ldots = b_n, - $$

то считали бы $k$ степенью $b$, и тогда у нас получилось бы:

$$(a + b)^n = a^n + \ldots + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + \ldots + b^n = $$

$$ = a^n{b^0} + \ldots + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + \ldots + a^0{b^n} = $$

$$ = \frac{n!}{0!(n - 0)!} \cdot a^{n - 0}b^0 + \frac{n!}{1!(n - 1)!} \cdot a^{n - 1}b^1 + \ldots + $$

$$ + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + ... + $$

$$ + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot a^{n - (n - 1)}b^{n - 1} + \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot a^{n - n}b^n = $$

$$ = \binom {n}{0}a^n{b^0} + \binom {n}{1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}a^1{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}a^0{b^n} = $$

$$ = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}b^n,$$

или, если не выписывать предпоследний член:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n}b^n,$$

что совпадает с (1).

Или же пусть $k$ будет по-прежнему степенью $a$, но, учитывая, что $\binom {n}{k} = \binom {n}{n-k}$ - то есть что биномиальные коэффициенты симметричны, - мы можем переписать наше выражение:

$$(a + b)^n = \binom {n}{n}a^n + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b + \binom {n}{k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}ab^{n - 1} + \binom {n}{0}b^n, - $$

заменяя $\binom {n}{k}$ на $\binom {n}{n-k}$.

Получим:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{n-k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{n-1})ab^{n - 1} + \binom {n}{n}b^n.$$

Здесь в правой части равенства в выражениях, стоящих в скобках, внизу стоят уже степени $b$, и поскольку между $\ldots$ и $\ldots$ вместо члена, содержащего $b^{n - k}$, можно взять член, содержащий $b^k$ - при этом вместо $a^k$ станет $a^{n - k}$, и вместо $\binom {n}{n-k}$ станет $\binom {n}{k}$, - мы получим:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{n-k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{n-1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}b^n = $$

$$\binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n}b^n, - $$

что также совпадает с (1).

Правильно?

[pogulyat_vyshel]

Эк вас колбасит. Ну разложите в ряд Тейлора функцию $(1+x)^n$ может полегчает. Непедагогично, конечно, такое советовать.

-- 17.08.2020, 14:52 --

У вас там по тексту все время какие-то коэффициенты в рамках. Это те, которые уже померли?

[Утундрий]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):

Правильно?

Что именно?

[Vladimir Pliassov]

Утундрий в сообщении #1479562 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):

Правильно?

Что именно?

Все, каждая буква.

[Утундрий]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479564 писал(а):

Все, каждая буква.

Определитесь.

[Vladimir Pliassov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479557 писал(а):

Эк вас колбасит. Ну разложите в ряд Тейлора функцию $(1+x)^n$ может полегчает. Непедагогично, конечно, такое советовать.

-- 17.08.2020, 14:52 --

У вас там по тексту все время какие-то коэффициенты в рамках. Это те, которые уже померли?

Люблю людей с юмором!

-- 17.08.2020, 14:15 --

Утундрий в сообщении #1479565 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1479564 писал(а):

Все, каждая буква.

Определитесь.

"Все, каждая буква," - это шутка.

Но если бы мне что-то сказали по существу сообщения, был бы признателен.

[Утундрий]

Мне не ясно, что такое

Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):

представить себе происхождение этой формулы

и зачем это делать, заодно.

[Vladimir Pliassov]

Утундрий в сообщении #1479568 писал(а):

Мне не ясно, что такое

Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):

представить себе происхождение этой формулы

и зачем это делать, заодно.

"представить себе происхождение этой формулы" - это значит, увидеть, откуда она взялась.

Зачем это делать? Чтобы понять.

[Утундрий]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479570 писал(а):

увидеть, откуда она взялась

Вам, для начала, сюда: Бином Ньютона

Vladimir Pliassov в сообщении #1479570 писал(а):

Чтобы понять

И как успехи?

[Vladimir Pliassov]

Утундрий в сообщении #1479575 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1479570 писал(а):

увидеть, откуда она взялась

Вам, для начала, сюда: Бином Ньютона

Так я же оттуда ее и взял, но там не объясняют, откуда она взялась, пишут, что из Индии и Персии, но я не это имею в виду.

[Утундрий]

Кто-то когда-то что-то перемножал и заметил, что... Думаю, любые "объяснения происхождения" будут выглядеть примерно таким образом.

[Vladimir Pliassov]

Утундрий в сообщении #1479589 писал(а):

Кто-то когда-то что-то перемножал и заметил, что... Думаю, любые "объяснения происхождения" будут выглядеть примерно таким образом.

Можете предложить другие объяснения происхождения?

[kotenok gav]

(Юмор, есличо)

Vladimir Pliassov в сообщении #1479595 писал(а):

Можете предложить другие объяснения происхождения?

Конечно. Прилетели инопланетяне и кинули математикам табличку с формулой.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479595 писал(а):

Утундрий в сообщении #1479589 писал(а):

Кто-то когда-то что-то перемножал и заметил, что... Думаю, любые "объяснения происхождения" будут выглядеть примерно таким образом.

Можете предложить другие объяснения происхождения?

Простите, не разобрался - Вы же сказали "любые".

Но Вы, значит, считаете, что не надо объяснять происхождение утверждения, надо только доказать, что оно справедливо?

-- 17.08.2020, 16:06 --

kotenok gav в сообщении #1479596 писал(а):

(Юмор, есличо)

Vladimir Pliassov в сообщении #1479595 писал(а):

Можете предложить другие объяснения происхождения?

Конечно. Прилетели инопланетяне и кинули математикам табличку с формулой.

Они кинули также и формулу определителя, во всех учебниках ее доказывают, но я ни разу не встречал, чтобы для произвольного $n$ показали, как она возникла.

Я могу показать, правда, только для ненулевых коэффициентов.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):

Правильно?

Докладчик бессовестно затянул доклад. Но наконец в нём заговорила совесть и говорила ещё битых два часа.