2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 13:16 


21/04/19
473
«Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

$(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \binom {n}{k} a^{n - k}b^k = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k} a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n$ (1)

где $\binom {n}{k} = \frac {n!}{k!(n - k)!} = C_n^k$ - биномиальные коэффициенты, $n$ неотрицательное целое число.» (Википедия)

Чтобы представить себе происхождение этой формулы, возьмем $(a + b)^n$ в виде произведения скобок и снабдим каждое $a$ соответствующим индексом, а $b$ оставим без индекса:

$$(a + b)^n = (a_1 + b) (a_2 + b) \ldots (a_n + b),\,\,\,\,a = a_1 = a_2 = \ldots = a_n.$$
Теперь, когда мы, «пометили» величины $a$, относящиеся к разным скобкам, проследим, что с ними происходит в процессе разложения бинома. Для этого на некоторое время остановимся на том этапе, когда скобки уже перемножены, а подобные члены еще не приведены.

Сделаем это сначала при $n=3$:

$$(a + b)^3 = (a_1 + b)(a_2 + b)(a_3 + b) = (a_1a_2 + a_1b + ba_2 + b^2) \cdot (a_3 + b) = $$
$$ = a_1a_2a_3 + a_1ba_3 + ba_2a_3 + b^2a_3 + a_1a_2b + a_1b^2 + ba_2b + b^3 = $$
$$ = a_1a_2a_3 + a_1a_3b + a_2a_3b + a_3b^2 + a_1a_2b + a_1b^2 + a_2b^2 + b^3 = $$
$$ = a_1a_2a_3 + \boxed{a_1a_2} \cdot b + \boxed{a_1a_3} \cdot b + \boxed{a_2a_3} \cdot b + a_1b^2 + a_2b^2 + a_3b^2 + b^3.$$
Мы получили разложение бинома неприведенного вида, то есть бинома с неприведенными подобными членами (хотя и перегруппированными по степеням $b$ для лучшего обзора), для $n=3$.

В этом разложении при каждом $b$ в первой степени имеется сомножитель, представляющий собой произведение элементов множества $ \{ a_1, a_2, a_3 \} $.

Поскольку степень одночлена равна сумме показателей степеней сомножителей, которые его составляют, то число этих элементов равно двум, и эти два элемента выбираются из $ \{ a_1, a_2, a_3 \} $ всевозможными, то есть $\binom {3}{2} = 3$, способами.

При этом ни одно из выбранных сочетаний элементов множества $\{ a_1, a_2, a_3 \}$ не повторяется, и ни в одном сочетании нет одинаковых элементов (см. далее о разложении бинома при произвольном $n$).

Поэтому в этом разложении $b$ со своими коэффициентами встречается 3 раза.

Соответственно, $b^2$ (с коэффициентами) встречается $\binom {3}{1} = 3$ раза, $b^3$ (с коэффициентом $a^0 = 1$) -- $\binom {3}{0} = 1$ раз, $b^0$ (с коэффициентом ${a_1}{a_2}{a_3}$) -- $\binom {3}{3} = 1$ раз.


Представим (1) в более подробном виде, то есть выпишем еще и предпоследний член, а также все степени $a$ и $b$:

$$(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \binom {n}{k} a^{n - k}b^k = $$
$$ = \binom {n}{0}{a^n}{b^0} + \binom {n}{1}{a^{n - 1}}{b^1} + \ldots + \binom {n}{k}{a^{n - k}}{b^k} + ... + \binom {n}{n-1}{a^1}{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}{a^0}{b^n}.$$
Мы видим, что степени $b$ возрастают от $0$ до $n$ слева направо, а степени $a$ возрастают от $0$ до $n$ справа налево.

Так что нумеровать члены бинома можно как слева направо, так и справа налево.

Заметим, что крайний член, с которого начинается отсчет в сторону возрастания, удобнее называть не первым, а нулевым, в том отношении, что тогда номер члена будет совпадать со степенью величины ($a$ или $b$), относительно которой идет отсчет.

Мы будем нумеровать члены бинома слева направо - то есть вести отсчет относительно $b$, - и ${a_1}{a_2}...{a_n}$ считать нулевым членом — на том основании, что сомножителем в нем является $b$ в нулевой степени. $ \frac {n!}{k!(n - k)!} a^{n - k}b^k$ будем считать $k$-ым членом, поскольку $b$, относительно которого идет отсчет, имеет степень $k$, а $\frac{n!}{k!(n - k)!} {a^k}b^{n - k}$ (который нам встретится позже) считать $(n-k)$-ым членом, поскольку степень $b$ в нем равна $(n-k)$.

Теперь разложим бином при произвольном $n$ - причем также остановимся на неприведенном виде его разложения:

$$(a + b)^n = (a_1 + b) (a_2 + b) \ldots (a_n + b) = $$
$$ = {a_1}{a_2}...{a_n} + ... + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} \cdot {b^{n - k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} \cdot {b^{n - k}} + ... +$$
$$  + \boxed{{a_{n - k + 1}}...{a_{n - 1}}{a_n}} \cdot {b^{n - k}} + ... + {b^n}.  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)  $$
Поскольку после перемножения скобок степень каждого из полученных слагаемых равна сумме показателей степеней сомножителей, из которых оно состоит, то при произвольном $k$ для получения произведений, являющихся в (2) множителями при $b^{n - k}$, из множества $ \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} $ берем всякий раз $k$ элементов, и эти $k$ элементов выбираем из $ \{a_1, a_2, \ldots, a_n \} $ всевозможными, то есть $\binom {n}{k}= \frac {n!}{k!(n-k)!}$ способами.

Сначала берем элементы с первого по $k$-ый, затем, сохраняя все остальные, вместо $k$-го берем $(k+1)$-ый, затем, так же, сохраняя все остальные, вместо $(k+1)$-ого берем $(k+2)$-ый и так далее, пока не возьмем последнего, то есть $n$-ого элемента множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$.

Затем повторяем операцию, исключив из $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ второй элемент.

Исчерпав все возможности с участием первого элемента, исключаем его из $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ и повторяем все сначала, начиная со второго элемента.

Действуем таким образом, пока не получим всех возможных сочетаний элементов множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \} $ по $k$ элементов в каждом, при этом в самом конце берем последние $k$ элементов множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$.

(По этому же принципу у нас выбраны сочетания $a_i $ в биноме при $n$=3.)

Таким образом, в качестве сомножителя при каждом $b^{n - k}$ мы получаем произведение $k$ элементов множества $\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} $, причем его элементы в одном и том же произведении не повторяются, и все эти произведения разные.

Это находится в соответствии с тем, что, во-первых, при перемножении скобок ни одно слагаемое ни одной из этих скобок не умножается само на себя, и поэтому элементы множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ в одном и том же произведении не могут повторяться, а во-вторых, $k$ элементов из $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ для произведений, являющихся сомножителями при $b^{n - k}$ выбираются $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ всевозможными способами, и, разумеется, способы эти разные.

В результате этой операции мы получим $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ сочетаний из $n$ элементов множества $\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ по $k$.

(При этом в каждом сочетании элементы будут представлены в упорядоченном виде по своим индексам, то есть индекс первого элемента будет меньше индекса второго и так далее, несмотря на то, что в сочетании порядок элементов не имеет значения.

Однако заметим, что именно потому, что порядок не имеет значения, они могут быть упорядочены, что дает нам возможность записать это выражение в той форме, в какой оно записано. Если бы они не были упорядочены, это было бы затруднительно, если вообще возможно.

Хотя, разумеется, надо иметь в виду, что, как сказано, упорядоченность элементов в сочетании не предполагается - именно поэтому в знаменателе выражения $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ стоит $k!$).

Соответственно, $b^{n - k}$ (со своими сомножителями) до приведения подобных членов встречается в разложении $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ раз, а после приведения умножается на сумму $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ всевозможных произведений $k$ элементов из множества $ \{ a_1, a_2, \ldots, a_n\} $:

$$(a + b)^n = $$
$$ = {a_1}{a_2}...{a_n} + ... + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} \cdot b^{n - k} + \boxed{{a_1}{a_2} \ldots a_{k - 1} a_{k + 1}} \cdot b^{n - k} + ... + \boxed {a_{n - k + 1} \ldots a_{n - 1} a_n} \cdot b^{n - k} +$$
$$+ \ldots + b^n = $$
$$ = [{a_1}{a_2}...{a_n} + ... + (\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} + ... + \boxed{{a_{n - k + 1}}\ldots {a_{n - 1}}{a_n}}) \cdot b^{n - k} + ... + b^n].$$
А так как $a = a_1 = a_2 = ... = a_n$, то все эти произведения равны между собой, каждое такое произведение можно представить как $k$-ую степень $a$:

$$\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} = \boxed{{a_1}{a_2} \ldots {a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} = \ldots = \boxed{{a_{n - k + 1}}...{a_{n - 1}}{a_n}} = {a^k}, - $$
а их сумма (как сумма равных слагаемых в количестве $\frac{n!}{k!(n - k)!}$ штук) составит $\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^k$.

То есть при произвольном $k$ $\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}}$ есть $(n-k)$-ый член разложения приведенного бинома (член, который состоит из суммы всех слагаемых неприведенного бинома, содержащих $b^{n - k}$), и коэффициент при ${a^k}{b^{n - k}}$ равен $\frac{n!}{k!(n - k)!}$.

Нулевой (потому что в нем $b$ имеет нулевую степень) член ${a_1}{a_2}...{a_n}$ также может быть представлен как степень $a$.

Таким образом,

$$(a + b)^n = a^n + ... + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + b^n.$$
Теперь, исходя из того,что

$$\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n – k}}$$
это произвольный член приведенного бинома (произвольный, поскольку $k$ бралось произвольное), представим эту формулу в более подробном виде.

Так как $\frac {n!}{k!(n-k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}}$ это $(n-k)$-тый член приведенного бинома, а в нулевом члене $b$ имеет нулевую степень, то в нулевом члене $k=n$.

Соответственно, в $n$-ом члене $k=0$.

Так что

$$(a + b)^n = {a^n} + ... + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + b^n = $$
$$ = \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot {a^n}{b^{n - n}} + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot {a^{n - 1}}{b^{n - (n - 1)}} + ... + $$
$$ + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + $$
$$ + \frac{n!}{1!(n - 1)!} \cdot {a^1}{b^{n - 1}} + \frac{n!}{0!(n - 0)!} \cdot {a^0}{b^{n - 0}} = $$
$$ = \binom {n}{n}{a^n}{b^0} + \binom {n}{n-1}{a^{n - 1}}{b^1} + \ldots + \binom {n}{k}{a^k}{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}{a^1}{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}{a^0}{b^n} = $$
$$ = \binom {n}{n}{a^n} + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k}{a^k}{b^{n - k}} + ... + \binom {n}{1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}b^n$$
Правда, у нас получилось не совсем то, что в (1), там:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n, - $$
или, если выписать еще и предпоследний член, а также все степени $a$ и $b$:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}{a^n}{b^0} + \binom {n}{1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}{a^1}b^{n - 1} + \binom {n}{n}a^0{b^n}.$$
У нас:

$$(a + b)^n = \binom {n}{n}a^n{b^0} + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}a^1{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}a^0{b^n}.$$
Однако, если бы мы вели наши рассуждения не относительно $a$, а относительно $b$, и снабжали индексами не $a$, а $b$:

$$(a + b)^n = (a + b_1)(a + b_2) \ldots (a + b_n),\,\,\,\,b = b_1 = b_2 = \ldots = b_n, - $$
то считали бы $k$ степенью $b$, и тогда у нас получилось бы:

$$(a + b)^n = a^n + \ldots + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + \ldots + b^n = $$
$$ = a^n{b^0} + \ldots + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + \ldots + a^0{b^n} = $$
$$ = \frac{n!}{0!(n - 0)!} \cdot a^{n - 0}b^0 + \frac{n!}{1!(n - 1)!} \cdot a^{n - 1}b^1 + \ldots + $$
$$ + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + ... + $$
$$ + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot a^{n - (n - 1)}b^{n - 1} + \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot a^{n - n}b^n = $$
$$ = \binom {n}{0}a^n{b^0} + \binom {n}{1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}a^1{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}a^0{b^n} = $$
$$ = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}b^n,$$
или, если не выписывать предпоследний член:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n}b^n,$$
что совпадает с (1).

Или же пусть $k$ будет по-прежнему степенью $a$, но, учитывая, что $\binom {n}{k} = \binom {n}{n-k}$ - то есть что биномиальные коэффициенты симметричны, - мы можем переписать наше выражение:

$$(a + b)^n = \binom {n}{n}a^n + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b + \binom {n}{k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}ab^{n - 1} + \binom {n}{0}b^n, - $$
заменяя $\binom {n}{k}$ на $\binom {n}{n-k}$.

Получим:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{n-k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{n-1})ab^{n - 1} + \binom {n}{n}b^n.$$

Здесь в правой части равенства в выражениях, стоящих в скобках, внизу стоят уже степени $b$, и поскольку между $\ldots$ и $\ldots$ вместо члена, содержащего $b^{n - k}$, можно взять член, содержащий $b^k$ - при этом вместо $a^k$ станет $a^{n - k}$, и вместо $\binom {n}{n-k}$ станет $\binom {n}{k}$, - мы получим:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{n-k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{n-1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}b^n = $$
$$\binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n}b^n, - $$

что также совпадает с (1).

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 13:22 
Аватара пользователя


31/08/17
2115
Эк вас колбасит. Ну разложите в ряд Тейлора функцию $(1+x)^n$ может полегчает. Непедагогично, конечно, такое советовать.

-- 17.08.2020, 14:52 --

У вас там по тексту все время какие-то коэффициенты в рамках. Это те, которые уже померли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):
Правильно?
Что именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 13:59 


21/04/19
473
Утундрий в сообщении #1479562 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):
Правильно?
Что именно?


Все, каждая буква.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Vladimir Pliassov в сообщении #1479564 писал(а):
Все, каждая буква.
Определитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 14:08 


21/04/19
473
pogulyat_vyshel в сообщении #1479557 писал(а):
Эк вас колбасит. Ну разложите в ряд Тейлора функцию $(1+x)^n$ может полегчает. Непедагогично, конечно, такое советовать.

-- 17.08.2020, 14:52 --

У вас там по тексту все время какие-то коэффициенты в рамках. Это те, которые уже померли?


Люблю людей с юмором!

-- 17.08.2020, 14:15 --

Утундрий в сообщении #1479565 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1479564 писал(а):
Все, каждая буква.
Определитесь.


"Все, каждая буква," - это шутка.

Но если бы мне что-то сказали по существу сообщения, был бы признателен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Мне не ясно, что такое
Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):
представить себе происхождение этой формулы
и зачем это делать, заодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 14:25 


21/04/19
473
Утундрий в сообщении #1479568 писал(а):
Мне не ясно, что такое
Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):
представить себе происхождение этой формулы
и зачем это делать, заодно.


"представить себе происхождение этой формулы" - это значит, увидеть, откуда она взялась.

Зачем это делать? Чтобы понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Vladimir Pliassov в сообщении #1479570 писал(а):
увидеть, откуда она взялась
Вам, для начала, сюда: Бином Ньютона
Vladimir Pliassov в сообщении #1479570 писал(а):
Чтобы понять
И как успехи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 15:22 


21/04/19
473
Утундрий в сообщении #1479575 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1479570 писал(а):
увидеть, откуда она взялась
Вам, для начала, сюда: Бином Ньютона


Так я же оттуда ее и взял, но там не объясняют, откуда она взялась, пишут, что из Индии и Персии, но я не это имею в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Кто-то когда-то что-то перемножал и заметил, что... Думаю, любые "объяснения происхождения" будут выглядеть примерно таким образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 15:48 


21/04/19
473
Утундрий в сообщении #1479589 писал(а):
Кто-то когда-то что-то перемножал и заметил, что... Думаю, любые "объяснения происхождения" будут выглядеть примерно таким образом.


Можете предложить другие объяснения происхождения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 15:52 


21/05/16
4020
Аделаида

(Юмор, есличо)

Vladimir Pliassov в сообщении #1479595 писал(а):
Можете предложить другие объяснения происхождения?

Конечно. Прилетели инопланетяне и кинули математикам табличку с формулой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 15:59 


21/04/19
473
Vladimir Pliassov в сообщении #1479595 писал(а):
Утундрий в сообщении #1479589 писал(а):
Кто-то когда-то что-то перемножал и заметил, что... Думаю, любые "объяснения происхождения" будут выглядеть примерно таким образом.


Можете предложить другие объяснения происхождения?


Простите, не разобрался - Вы же сказали "любые".

Но Вы, значит, считаете, что не надо объяснять происхождение утверждения, надо только доказать, что оно справедливо?

-- 17.08.2020, 16:06 --

kotenok gav в сообщении #1479596 писал(а):

(Юмор, есличо)

Vladimir Pliassov в сообщении #1479595 писал(а):
Можете предложить другие объяснения происхождения?

Конечно. Прилетели инопланетяне и кинули математикам табличку с формулой.


Они кинули также и формулу определителя, во всех учебниках ее доказывают, но я ни разу не встречал, чтобы для произвольного $n$ показали, как она возникла.

Я могу показать, правда, только для ненулевых коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бином Ньютона
Сообщение17.08.2020, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4953
Нов-ск

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1479555 писал(а):
Правильно?
Докладчик бессовестно затянул доклад. Но наконец в нём заговорила совесть и говорила ещё битых два часа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group