Интегральная погрешность

[ViktorArs]

Добрый день.

Необходимо определить предельную погрешность КФ $R(\tau)=\int x(t)y(t+\tau)d\tau$, если изместны предельные погрешности подынтегральных функций.

Конкретика: имеем два сигнала. У них известно значение максимальной погрешности зависящее от дискретности задания этой ф-ции.
Вычисляю ВКФ этих функций.
Как оценить погрешность уже ВКФ - ума не приложу.
Если, например, заменить упрощенно интеграл на сумму, то каждая (табличная) точка (произведение $(xy)$ )будет иметь относительную погрешность равную сумме относительных погрешностей каждого из множителей.
Примечание - Если есть две величины $x$ и $y$, у каждой из которых известна относительная погрешность $\delta x$ и $\delta y$, то величина равная произведению этих величин будет иметь относительную погрешность равную $\approx \delta x + \delta y$.

Далее. Сумма предполагает, что абс. погрешность суммы есть сумма абс. погрешностей слагаемых.
И вот дальше как-то выделить общий случай - не ясно как, т.к. длина функции в общем случае разная, а след-но разное кол-во слагаемых. Т.е. как выразить погрешность $\Delta R(\tau)$ через погрешности $\Delta x и \Delta y$?
Если перейти к относительной погрешности, то отн. погрешность остается для суммы такой же как и для отдельного слагаемого. Казалось бы проще становится на перый взгляд. Но как тогда прикинуть сумму, амплитуда же в каждой точке разная. Вобщем пока в голове сумбур, просьба помочь хоть комментариями, может что и придумается.

PS: Прошу прощения, я описывал не строго математическими наверно терминами. Наверняка тут много к чему можно подкопаться, но я пытался суть передать, а не выдержать строгую терминологию, тем более вряд ли я смог бы наверно это сделать. )))

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

ViktorArs в сообщении #1408084 писал(а):

просьба помочь хоть комментариями

Могу сделать ещё хуже.
Пусть «настоящие» сигналы $x_0(t)=y_0(t)=e^{-t^2}$. Если при измерениях погрешностей нет, всё в порядке.
А представьте, что при измерениях возникает систематическая погрешность:
$x(t)=y(t)=e^{-t^2}+a\,,$
где $a$ — положительная константа, пусть даже много меньшая $1$. Тогда интеграл
$\int\limits_{-\infty}^\infty x(t)\;y(t+\tau)\;dt$
будет расходиться при любом $\tau$.

[ViktorArs]

С этим ясно, спасибо. )))
Сигнал в идеале синус: для определенности 10 периодов.

[svv]

Понятно. При таких сигналах встречал два подхода:
$\bullet$ находить $\lim\limits_{T\to\infty}\frac 1 T\int\limits_{-T}^{+T} x(t)\;y(t+\tau)\;dt$, т.е., практически, интеграл по очень широкому отрезку интегрирования нормировать на длину отрезка;
$\bullet$ использовать оконную функцию, сглаживающую негативный эффект резкого обрезания сигналов на краях отрезка: $\int\limits_{-T}^{+T} x(t)\;y(t+\tau)\;w(t)\;dt$

Вернёмся к вопросу. Пусть истинные сигналы $x_0(t), y_0(t)$, а измеренные
$x(t)=x_0(t)+\xi(t)$,
$y(t)=y_0(t)+\eta(t)$,
где $\xi(t),\eta(t)$ — погрешности. Предположим, что погрешности малы по сравнению с сигналами. Распишите, чему равна погрешность корреляционной функции
$\int\limits_a^b x(t)\;y(t+\tau)\;dt-\int\limits_a^b x_0(t)\;y_0(t+\tau)\;dt$

[ViktorArs]

вроде так
$... = \int_{a}^{b} y_0(t+\tau) \xi(t)dt + \int_{a}^{b} x_0(t) \eta(t+\tau)dt + \int_{a}^{b} \xi(t) \eta(t+\tau)dt .$

[svv]

Ок.
Теперь, если погрешности малы, третий интеграл можно отбросить, потому что в нём под интегралом перемножаются погрешности, а не сигнал и погрешность, как в первых двух:
$\Delta R=\int\limits_{a}^{b} y_0(t+\tau)\;\xi(t)\;dt + \int\limits_{a}^{b} x_0(t)\;\eta(t+\tau)\;dt$

Следующий шаг: учтите, что модуль суммы не превосходит суммы модулей и напишите оценку для $|\Delta R|$.

[ViktorArs]

Про последнее слагаемое, да тоже хотел сказать что наверно им можно пренебречь.

$$ \lvert \Delta R \rvert \le \int_{a}^{b} \lvert y_0(t+\tau) \xi(t) \rvert dt + \int_{a}^{b} \lvert x_0(t) \eta(t+\tau) \rvert dt .$$

-- 13.08.2020, 15:21 --

мысли далее...

$$ \frac {\lvert \Delta R \rvert}{x_0(t) y_0(t+\tau)} \le \int_{a}^{b} \frac {\lvert y_0(t+\tau) \xi(t) \rvert}{x_0(t) y_0(t+\tau)} dt + \int_{a}^{b} \frac{\lvert x_0(t) \eta(t+\tau)\rvert} {x_0(t) y_0(t+\tau)} dt .$$

Далее пока не знаю. Может через сигнум?

[svv]

ViktorArs в сообщении #1478844 писал(а):

$$ \lvert \Delta R \rvert \le \int_{a}^{b} \lvert y_0(t+\tau) \xi(t) \rvert dt + \int_{a}^{b} \lvert x_0(t) \eta(t+\tau) \rvert dt .$$

Хорошо. Я имел в виду только
$|\Delta R|\leqslant|\int\limits_{a}^{b} y_0(t+\tau)\;\xi(t)\;dt| + |\int\limits_{a}^{b} x_0(t)\;\eta(t+\tau)\;dt|$
Теперь воспользуйтесь этим (там, где интегралы).

[ViktorArs]

$ \lvert \Delta R \rvert \le \left| \int_{a}^{b} y_0(t+\tau) \xi(t) dt \right| + \left| \int_{a}^{b} x_0(t) \eta(t+\tau) dt \right| ;$

$ \lvert \Delta R \rvert ^2 \le \int_{a}^{b} \left| y_0(t+\tau) \xi(t) \right| ^2 dt + \int_{a}^{b} \left| x_0(t) \eta(t+\tau) \right| ^2 dt ;$

$ \lvert \Delta R \rvert \le \sqrt{ \int_{a}^{b} \left| y_0(t+\tau) \xi(t) \right| ^2 dt + \int_{a}^{b} \left| x_0(t) \eta(t+\tau) \right| ^2 dt} .$

[svv]

ViktorArs, нет.

Цитата:

For the inner product space of complex-valued, one has
$\left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\,dx \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2 \,dx$

Чтобы получить, наконец, нечто полезное, надо этой формулой, как топором, расколоть каждый из интегралов в правой части надвое, чтобы вместо каждого интеграла от произведения получилось произведение интегралов.

[ViktorArs]

Спасибо, что хватает терпения на меня.
. . . . .
$ \left| \int_{a}^{b} y_0(t+\tau) \xi(t) dt \right| ^2 \le \int_{a}^{b} \left| y_0(t+\tau) \right| ^2 dt \cdot \int_{a}^{b} \left| \xi(t) \right|^2 dt ;$
$ \left| \int_{a}^{b} x_0(t) \eta(t+\tau) dt \right| ^2 \le \int_{a}^{b} \left| x_0(t) \right| ^2 dt \cdot \int_{a}^{b} \left| \eta(t+\tau) \right|^2 dt .$

Надеюсь, что теперь правильно?

[svv]

Да, правильно.

Цитата:

For the inner product space of complex-valued, one has
$\left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\,dx \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2 \,dx$

Если теперь взять квадратный корень от каждой части, получим в нашем случае
$\left|\int\limits_a^b fg\;dt\right|\leqslant \sqrt{\int\limits_a^b f^2\;dt}\sqrt{\int\limits_a^b g^2\;dt}$
(в правой части модули не нужны, разве что скобки).

И это примените к каждому интегралу под модулем здесь:
$|\Delta R|\leqslant|\int\limits_{a}^{b} y_0(t+\tau)\;\xi(t)\;dt| + |\int\limits_{a}^{b} x_0(t)\;\eta(t+\tau)\;dt|$

[ViktorArs]

вроде бы так
$ \left| \int_{a}^{b} y_0(t+\tau) \xi(t) dt \right| + \left| \int_{a}^{b} x_0(t) \eta(t+\tau) dt \right| \le $
$ \le \sqrt{ \int_{a}^{b} y_0(t+\tau)^2 dt} \cdot \sqrt{\int_{a}^{b} \xi(t)^2 dt } + \sqrt{ \int_{a}^{b} x_0(t)^2 dt} \cdot \sqrt{ \int_{a}^{b} \eta(t+\tau)^2 dt } . $