Линия погони

[pogulyat_vyshel]

ozheredov в сообщении #1477930 писал(а):

с заданы только граничные условия — в начале он $v$, а потом — суп с котом. Этих двух точек явно не достаточно.

В предположении что связь идеальна -- достаточно. Если вам это предположение не нравится, спорить не буду, мне оно самому что-то не очень нравится последнее время.

-- 08.08.2020, 11:30 --

В данном случае идеальность связи это не что иное как предположение о том, что сила трения перпендикулярна скорости

EUgeneUS в сообщении #1477877 писал(а):

сила трения ограничена сверху непроскальзыванием лап.

вот это выглядит по-моему куда более осмысленным

[nnosipov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477862 писал(а):

Собака лапами по земле не проскальзывает.

Это, надо полагать, синоним фразы "связь идеальна". Если нет, то где в условии задачи сказано, что "связь идеальна"?

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477933 писал(а):

вот это выглядит по-моему куда более осмысленным

Пусть собака стартует издалека, тогда она разовъёт очень большую скорость... и не сможет "непроскальзывать".

[pogulyat_vyshel]

Geen в сообщении #1477941 писал(а):

Пусть собака стартует издалека, тогда она разовъёт очень большую скорость... и не сможет "непроскальзывать".

Способность собаки увеличивать скорость уже противоречит идеальности связи. Нельзя эту задачу так решать значит. Если додумаюсь до чего-нибудь стоящего напишу статью и опровержение этого текста заодно. Только не в этот журнал. Этот журнал из Q4.

-- 08.08.2020, 12:16 --

Geen в сообщении #1477941 писал(а):

большую скорость... и не сможет "непроскальзывать".

проскальзывать\не проскальзывать это вопрос не скоростей , а сил, а значит ускорений, поэтому мне и нравится идея EUgeneUS

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477945 писал(а):

Пусть собака стартует издалека, тогда она разовъёт очень большую скорость... и не сможет "непроскальзывать".

Ну и что?
Будет собака проскальзывать или нет, в каждой конкретной точке зависит от положения собаки относительно человека и скорости собаки в этой конкретной точке.
А значит и для случая постоянного модуля скорости собаки можно подобрать такие начальные условия, что проскальзывание будет обязательно.
В таких случаях просто не существует траектории, которая удовлетворяет всем условиям.

-- 08.08.2020, 11:50 --

Кстати, картинка в статье и в стартовом посте неверна. В начальной точке траектория касательная должна быть направлена к началу координат.

-- 08.08.2020, 11:52 --

iifat

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1477917 писал(а):

Ну, допустим, ограничена. И чо? Сила вашего трения о землю тоже ограничена. Модуль вашего ускорения постоянен?

Я не гоняюсь за людьми

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477945 писал(а):

проскальзывать\не проскальзывать это вопрос не скоростей

Это вопрос "заданного" направления скорости.

[pogulyat_vyshel]

Кстати, если считать, что собака полностью использует силу трения, т.е. бежит так, что сила трения максимально возможная, обеспечивающая движение без проскальзывания, то система уравнений замыкается и там уже можно заниматься каким-то анализом.

-- 08.08.2020, 14:14 --

Перспективным было бы развернуть эту задачу в русло теории управления с минимизацией каких-то функционалов. То что есть на науку пока не тянет.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477927 писал(а):

Физичность этого предположения

Что вы понимаете под "физичностью предположения"? Разумеется, у реальной собаки будет небольшое запаздывание/опережение её реакции, которыми можно пренебречь.

-- 08.08.2020, 15:01 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1477964 писал(а):

Перспективным было бы развернуть эту задачу в русло теории управления с минимизацией каких-то функционалов.

Догнать за минимальное время задача ещё скучнее.

[lel0lel]

Это довольно известная задача. По крайней мере я с ней познакомился будучи ещё школьником. В брошюре олимпиадных задач была вариация на тему лиса--заяц, нужно было найти время погони, уравнение траектории находить не требовалось (школьники не знакомы с диффурами). Задача преподносилась как чисто кинематическая (и мне кажется это правильно), речи о силах не было. То есть подразумевалось, что силы в любой момент времени таковы, что обеспечивают требуемый режим преследования.

В Википедии пишут (гуглить кривая погони), что задача была сформулирована Леонардо да Винчи, а решена с появлением анализа французом Бугером.

[svv]

В классической постановке обсуждали здесь. Сейчас условия другие (и я их не понимаю).

[nnosipov]

svv в сообщении #1477982 писал(а):

Сейчас условия другие (и я их не понимаю).

Видимо, такой и должна быть настоящая физическая задача. Зачем читателю знать все условия задачи? Интриги не будет.

[novichok2018]

Мне кажется это известная действительно задача из книг по оптимальному управлению, и преследованию. Когда-то видел в формулировке самолёт- за ним наводящаяся ракета.

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1477949 писал(а):

А значит и для случая постоянного модуля скорости собаки можно подобрать такие начальные условия, что проскальзывание будет обязательно.

Подобрать то можно. Давайте в таком подобранном случае пропорционально замедлим скорость человека $c$, начальную $v_0$ у собаки и ускорение заодно. Будет ли тогда проскальзывание?

Ведь изначально требовалось найти траекторию собаки, а не её движение.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1477982 писал(а):

Сейчас условия другие (и я их не понимаю).

В статье, на которую приведена ссылка, указано:

Цитата:

... His dog starts at the same moment from the point $[x_0, y_0], x_0 ≥ 0, y_0 \ne 0$ and runs
in such a way, that its velocity at each moment is given by the line connecting its
instantaneous position and the instantaneous position of the man. We shall find
the trajectory of the dog.

То есть ничего не сказано, но про постоянство модуля скорости собаки, ни про непроскальзывание лап.
При этом в статье дается вывод постоянства модуля скорости с использованием результата из [2] M. Brdiˇcka, A. Hlad´ık: Theoretical Mechanics. Academia, Praha (1987). (in Czech)

Цитата:

In [2] the dynamics is obtained by solving Chetaev equations of motion (equations with Lagrange multipliers), which take a very simple form
$\ddot{x} = \tilde{\mu}G(x, y, t)$,
$\ddot{y}=-\tilde{\mu}$

где уже возникает $\tilde{\mu} = µ/m$, насколько понимаю, "приведенный" коэффициент трения. Что уже кагбэ намекает на непроскальзывание лап.

[svv]

Понятно. В статье для собаки записывается лагранжиан, соответствующий свободной частице массой $m$ в двумерном евклидовом пространстве. Не будь указанной связи, собака и двигалась бы как свободная частица, то есть скорость сохраняла бы модуль и направление. А со связью автор получил, что скорость будет сохранять только модуль. Аналогично автомобилю, который едет без проскальзывания и потерь кинетической энергии, причём руль всё время поворачивается так, чтобы направление скорости удовлетворяло некоторому условию. Тогда неудивительно, что модуль скорости будет сохраняться.