Догонялки: задачка на кинематику

[Alex_J]

Задачка... из Иродова.

Точка A движется равномерно и прямолинейно, скорость $u$.
Точка B движется равномерно, всё время в сторону точки A, модуль скорости $v$.
$v>u$.
Начальное положение таково, что расстояние $r_{AB}(t=0)=l$, и точка B расположена перпендикулярно к направлению движения точки A.
Найти момент времени встречи точек A и B...

Решать можно через расписывание компонент и из неких геометрических соображений, но второй способ пока ничего не дал. Первый же приводит к огромному нелинейному дифференциальному уравнению от одной функции, получаемому из вот такой системы:

$$\begin{cases} yv=\dot{y}\sqrt{(ut-x)^2+y^2}\\ \dot{x}^2+\dot{y}^2=v^2=const\\ x(0)=0, y(0)=-l\\ \end{cases}$$

Даже Maple не берёт нормально это дело - над системой думает и думает, а от одной функции выдаёт неудобоваримый результат.

Система эта получается из соображений, что $\mathbf{v} \uparrow\uparrow \mathbf{r}_{BA}$, а значит можно приравнять компоненты единичных векторов: $\frac{v_y}{y}=\frac{r_{BA}_{y}}{r_{BA}}$, а $v_y=\dot{y}$.

В системе отсчёта точки A скорость $\mathbf{v'}=\mathbf{v}-\mathbf{u}$ направлена не на точку A, и нельзя ожидать сохранения ни модуля скорости, ни направления, т.е. всё не сильно проще, а даже сложнее.

Но задачка-то одна из первых в задачнике, и скорее всего какое-то соображение имеется элементарное, из которого быстро получается ответ. Дайте хоть маленькую подсказочку.

[amon]

Пусть $u=1$. Тогда $x=t$.

[Alex_J]

amon в сообщении #964380 писал(а):

Пусть $u=1$. Тогда $x=t$.

Это с какого же такого?

[amon]

$1\cdot t=x$ (Вы же подсказку, а не решение просили)

[Alex_J]

amon в сообщении #964397 писал(а):

$1\cdot t=x$

$x$ - координата точки B, а $u$ - скорость точки A.

Назначать конкретную величину скорости вообще смысла нет. Нужно решение в общем виде.

[amon]

Делаю последнюю попытку. $x=ut\Rightarrow t=\frac{x}{u}$

[Утундрий]

У меня получился чудный интеграл

$$\[ \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\cos ^2 \theta \left( {\frac{{\cos \frac{\theta } {2} + \sin \frac{\theta } {2}}} {{\cos \frac{\theta } {2} - \sin \frac{\theta } {2}}}} \right)} ^{\frac{v} {u}} d\theta \] $$

Либо тут числа просчёты... либо же в условии имелось в виду постоянство скорости сближения.

[amon]

У меня проще - $y=C_1+C_2x^2-\frac{\ln x}{8C_2}$ (если где не соврал).

[Утундрий]

Если это траектория, то я её не считал. Интеграл даёт время сближения. Кстати, там какая-то забавная особенность при $v>2 u$, но сейчас нет времени на поковырять.

[amon]

ТС затихорился в надежде, что сейчас все ему решат-таки. Поэтому только намекаю. $y=0$ дает время. Уравнение трансцендентное, так что неберучесть интеграла не удивительна.

[Oleg Zubelevich]

http://bse.sci-lib.com/article090177.html

[Утундрий]

А, да Винчи. То-то у меня борзые да зайцы в голове крутились. Но зародыш для Гугеля так и не сформировался.

[Pphantom]

Утундрий в сообщении #964595 писал(а):

Но зародыш для Гугеля так и не сформировался.

Ну раз уж все интересное сказали, тогда можно и погуглить слово "трактриса".

[Утундрий]

Можно, но это будет уже совсем другая задача.

[Pphantom]

Утундрий в сообщении #964608 писал(а):

Можно, но это будет уже совсем другая задача.

Ну, положим, не совсем. По меньшей мере родственная.