Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами

[ainour1]

Здравствуйте не могу понять как решить этот интеграл, перепробовал все методы что знаю, пытался интегрировать дважды по частям как циклический интеграл.. не получилось..., потом пытался использовать подстановку через гиперболический тангенс половинного угла... Не получилось.... укажите пожалуйста хотя бы путь по которому можно получить правильный результат, а то по моему я вообще не те методы выбрал.

$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{x\cdot sinh(2 \cdot t)}\cdot sinh(t)dt$$

[kotenok gav]

Этот интеграл в элементарных функциях не берётся.

[StaticZero]

Если более точно, то вопрос "почему" можно прочувствовать так:

$$ \int \exp (a \sh t) \sh t \, \mathrm dt = \int \exp \left(a \sqrt{x^2 - 1} \right) \, \mathrm dx, \qquad x = \ch t $$

Иначе говоря, слишком сложная экспонента.

[novichok2018]

по иксу взять производную и к дифуру? И вообще он сходится?

[Утундрий]

Или $x<0$ или в показателе экспоненты потерян минус (а у икса - квадрат), ну или не существует.

[Markiyan Hirnyk]

Команда Математики 12.0 находит аналитическое выражение для этого интеграла :

Integrate[Exp[x*Sinh[2 t]]*Sinh[t], {t, 0, Infinity},  Assumptions -> x < 0]
(1/Sqrt[-x])(1/4 + I/4) E^(-I x) Sqrt[\[Pi]/2] (-I +    E^(2 I x) (1 + Erf[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) + 
   Erfi[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]])

Можно попробовать найти интеграл пошагово, применяя пакет Rubi.

[Утундрий]

Прежде чем совать горшок в печь, стряхни с него пыль (с)

Markiyan Hirnyk
Вы график подынтегральной функции для начала представили?

[Markiyan Hirnyk]

Утундрий
Пожалуйста, корректно сформулируйте Ваш недоуменный вопрос. График подинтегральной функции при $x=-1$ для значений $t$ от $0$ до $1$ можно посмотреть здесь. При подстановке $x=-1$ в полученное аналитическое выражение для интеграла получается действительное число (с точностью до вычислительной ошибки)

(1/Sqrt[-x]) (1/4 + I/4) E^(-I x) Sqrt[\[Pi]/2] (-I +   E^(2 I x) (1 + Erf[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) + 
     Erfi[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) /. x -> -1.000 // Chop
0.1161

[kotenok gav]

Смотря на конкретные значения этого интеграла, можно заметить, что он всегда выражается через функцию ошибок. Так что немного покрутив $x$ в WolframAlpha, можно заметить (и потом доказать) выражение для него.

[novichok2018]

Наверное всё-таки через дифур, учитывая вышепосчитанное.

[Markiyan Hirnyk]

Увы, Rubi не находит рассматриваемый интеграл.

[novichok2018]

А что за программа Rubi? Есть примеры, что она считает, а МАТЕМАТИКА нет?
Математика действительно считает. Непонятно, как всё комплексное из ответа удалить.

[kotenok gav]

Markiyan Hirnyk, посчитайте в Mathematica значения интеграла для конкретных $x$, и увидите формулу.

[Markiyan Hirnyk]

novichok2018 См. здесь. Да, имеются примеры интегралов, которые находит Rubi, но не находит Математика.

-- 10.07.2020, 21:30 --

kotenok gav Для конкретных значений $x$ Математика производит результат подстановки конкретного значения в общую формулу. Есть у Вас еще идеи? Пожалуйста, излагайте.

[kotenok gav]

Ну смотрите:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty (здесь WolframAlpha его чуть упростила, но ответ все равно виден)
Видите сходство?

-- 11 июл 2020, 05:21 --

Ответ будет еще заметнее, если взглянуть на https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty.

-- 11 июл 2020, 05:24 --

Короче, вышлю ответ вам в ЛС.