2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 20:31 
Здравствуйте не могу понять как решить этот интеграл, перепробовал все методы что знаю, пытался интегрировать дважды по частям как циклический интеграл.. не получилось..., потом пытался использовать подстановку через гиперболический тангенс половинного угла... Не получилось.... укажите пожалуйста хотя бы путь по которому можно получить правильный результат, а то по моему я вообще не те методы выбрал.
$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{x\cdot sinh(2 \cdot t)}\cdot sinh(t)dt$$

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 20:38 
Этот интеграл в элементарных функциях не берётся.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 20:49 
Аватара пользователя
Если более точно, то вопрос "почему" можно прочувствовать так:
$$
\int \exp (a \sh t) \sh t \, \mathrm dt = \int \exp \left(a \sqrt{x^2 - 1} \right) \, \mathrm dx, \qquad x = \ch t
$$
Иначе говоря, слишком сложная экспонента.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 20:53 
по иксу взять производную и к дифуру? И вообще он сходится?

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 21:01 
Аватара пользователя
Или $x<0$ или в показателе экспоненты потерян минус (а у икса - квадрат), ну или не существует.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 21:06 
Команда Математики 12.0 находит аналитическое выражение для этого интеграла :
Код:
Integrate[Exp[x*Sinh[2 t]]*Sinh[t], {t, 0, Infinity},  Assumptions -> x < 0]
(1/Sqrt[-x])(1/4 + I/4) E^(-I x) Sqrt[\[Pi]/2] (-I +    E^(2 I x) (1 + Erf[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) +
   Erfi[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]])

Можно попробовать найти интеграл пошагово, применяя пакет Rubi.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 21:07 
Аватара пользователя
Прежде чем совать горшок в печь, стряхни с него пыль (с)

Markiyan Hirnyk
Вы график подынтегральной функции для начала представили?

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 21:16 
Утундрий
Пожалуйста, корректно сформулируйте Ваш недоуменный вопрос. График подинтегральной функции при $x=-1$ для значений $t$ от $0$ до $1$ можно посмотреть здесь. При подстановке $x=-1$ в полученное аналитическое выражение для интеграла получается действительное число (с точностью до вычислительной ошибки)
Код:
(1/Sqrt[-x]) (1/4 + I/4) E^(-I x) Sqrt[\[Pi]/2] (-I +   E^(2 I x) (1 + Erf[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) +
     Erfi[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) /. x -> -1.000 // Chop
0.1161

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 21:19 
Смотря на конкретные значения этого интеграла, можно заметить, что он всегда выражается через функцию ошибок. Так что немного покрутив $x$ в WolframAlpha, можно заметить (и потом доказать) выражение для него.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 22:07 
Наверное всё-таки через дифур, учитывая вышепосчитанное.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 22:19 
Увы, Rubi не находит рассматриваемый интеграл.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 22:20 
А что за программа Rubi? Есть примеры, что она считает, а МАТЕМАТИКА нет?
Математика действительно считает. Непонятно, как всё комплексное из ответа удалить.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 22:22 
Markiyan Hirnyk, посчитайте в Mathematica значения интеграла для конкретных $x$, и увидите формулу.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 22:26 
novichok2018 См. здесь. Да, имеются примеры интегралов, которые находит Rubi, но не находит Математика.

-- 10.07.2020, 21:30 --

kotenok gav Для конкретных значений $x$ Математика производит результат подстановки конкретного значения в общую формулу. Есть у Вас еще идеи? Пожалуйста, излагайте.

 
 
 
 Re: Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами
Сообщение10.07.2020, 22:46 
Ну смотрите:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty (здесь WolframAlpha его чуть упростила, но ответ все равно виден)
Видите сходство?

-- 11 июл 2020, 05:21 --

Ответ будет еще заметнее, если взглянуть на https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 0+to+infty.

-- 11 июл 2020, 05:24 --

Короче, вышлю ответ вам в ЛС.

 
 
 [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group