Не берущийся интеграл с гиперболическими синусами

[Markiyan Hirnyk]

kotenok gav

Насколько я вижу, результаты ВА подтверждают формулу $\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{4}\right) \sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-i x} \left(e^{2 i x} \left(\text{erf}\left((-1)^{3/4} \sqrt{-x}\right)+1\right)+\text{erfi}\left((-1)^{3/4} \sqrt{-x}\right)-i\right)}{\sqrt{-x}}$, полученную Математикой и приведенную мною выше. Замечу, что эта формула подтверждается также численным интегрированием для значения параметра $x=-1$ .

В Вашем личном сообщении Вы без надобности изменили обозначения вопроса( $-2x^2$ вместо $x$ (Компьютерные системы по умолчанию рассматривают все параметры как комплекснозначные величины.)) и предложили без обоснования некоторую формулу.

[novichok2018]

Формула правильная, заменить x на -x^2 действительно удобно. Но считать по ней может только машина. Хотелось бы преобразовать формулу, чтобы ушли все комплексные выражения, может быть кто-то сумеет это сделать. Ответ ведь действительный.
Обидно, что если заменить под интегралом нижний Sh на степень, вроде попроще, но МАТЕМАТИКА пасует, иначе можно было бы в ряд разложить нижний Sh и получить ответ хотя бы в виде ряда.

[Markiyan Hirnyk]

novichok2018

Цитата:

Хотелось бы преобразовать формулу, чтобы ушли все комплексные выражения, может быть кто-то сумеет это сделать. Ответ ведь действительный.

Сомневаюсь, что это возможно: пробовал, трудность в комлекснозначных аргументах функций. Похожее положение с формулой Кардано для корней кубического уравнения, где даже в случае трех действительных корней фигурируют комплексные числа.

[kotenok gav]

Вот та самая моя формула:

$$\int\limits_0^{\infty}e^{-2x^2\sh(2t)}\sh tdt=\frac{(1+i)\sqrt{\pi}}{8x}e^{-2x^2i}(1-ie^{4x^2i}+ie^{4x^2i}\operatorname{erf}(ix+x)+\operatorname{erf}(ix-x))$$

Как не трудно видеть, Markiyan Hirnyk привел её же, только в моей формуле нет корней (так как есть квадраты).

[Markiyan Hirnyk]

Выражение для интеграла $\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{4}\right) \sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-i x} \left(e^{2 i x} \left(\text{erf}\left((-1)^{3/4} \sqrt{-x}\right)+1\right)+\text{erfi}\left((-1)^{3/4} \sqrt{-x}\right)-i\right)}{\sqrt{-x}}$ действительно сложное. Из него можно получить простые асимптотические формулы при $x\to 0$

Normal[Series[(1/Sqrt[-x]) (1/4 + I/4) E^(-I x) Sqrt[\[Pi]/2] (-I + 
     E^(2 I x) (1 + Erf[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) +    Erfi[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]), {x, 0, 1}, Assumptions -> x < 0]]

$-\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} x}{2 \sqrt{-x}}+\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}{2 \sqrt{-x}}+\frac{(-1)^{3/4} (1+i)}{\sqrt{2}}$
и при $x\to -\infty$

Normal[Series[(1/Sqrt[-x]) (1/4 + I/4) E^(-I x) Sqrt[\[Pi]/2] (-I + 
     E^(2 I x) (1 + Erf[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]) +  Erfi[(-1)^(3/4) Sqrt[-x]]), {x, -Infinity, 1},  Assumptions -> x < 0]]

$\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{4}\right) \sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{i x}}{\sqrt{-x}}+\frac{\sqrt[4]{-1} \left(\frac{1}{4}+\frac{i}{4}\right) \sqrt{\pi } e^{i x+\frac{3 i \pi }{4}}}{\sqrt{2} \sqrt{-x}}.$

[SiberianSemion]

А в каком контексте возник интеграл? Эта функция чем-либо полезна или её надо найти в рамках учебной задачи?

[ainour1]

SiberianSemion в сообщении #1473303 писал(а):

А в каком контексте возник интеграл? Эта функция чем-либо полезна или её надо найти в рамках учебной задачи?

Да в рамках учебной задачи.

[Pphantom]

Pphantom в сообщении #1291248 писал(а):

Markiyan Hirnyk, во избежание очередного повторения одной и той же ситуации:
...
2) Вам запрещается приводить результаты, полученные с использованием математических пакетов, в темах, в которых автор темы явно не упомянул, что решение такого рода допустимо.

Markiyan Hirnyk, очередной бан. Теперь на 4 месяца.

[ainour1]

Утундрий в сообщении #1473240 писал(а):

Или $x<0$ или в показателе экспоненты потерян минус (а у икса - квадрат), ну или не существует.

Да действительно там потерян минус, я лопух, еще указано что х много больше единицы.

[kotenok gav]

ainour1, ну так вот вам формула: post1473290.html#p1473290

[StaticZero]

kotenok gav, а при $x \to +\infty$ сойдётся эта хрень, вы проверяли?

[kotenok gav]

Исходный интеграл? Он при $x\geq0$ не сходится.

[StaticZero]

kotenok gav в сообщении #1473315 писал(а):

Исходный интеграл? Он при $x\geq0$ не сходится.

Я имел в виду вашу формулу. У меня наоборот, получилось, что исходный должен сойтись, а ваша формула даёт комплексный мусор, но я видать как всегда ошибся.

По рабоче-крестьянски получается следующее: рассмотрим интеграл $\int_a^{+\infty}$, $a > 0$. Если рассмотреть значения $t$ большие длины затухания $e^{-t}$ (ну например $t > 3 \div 4$), то эту функцию можно выбросить из $\sh t$, и тогда останется

$$ \begin{align*} \int \limits_a^{+\infty} \exp (-x^2 \sh 2t) \sh t \ \mathrm dt = \int \limits_a^{+\infty} \exp \left( - \frac{x^2 e^{2t}}{2} \right) \exp \left( \frac{x^2 e^{-2t}}{2} \right) \frac{e^t - e^{-t}}{2} \ \mathrm dt \approx \\ \approx \frac{1}{2} \int \limits_{\exp a}^{+\infty} \exp \left( - \frac{x^2}{2} \left[ y^2 - \frac{1}{y^2} \right] \right) \, \mathrm dy \end{align*} $$

Дальше, при $y \to +\infty$ функция $y^2 - y^{-2}$ вырождается в $y^2$, (не так быстро, как экспонента, конечно, но), и при очень больших $y$ от интеграла останется только

$$ \int \limits_{\exp a}^{+\infty} \exp \left( - \frac{x^2 y^2}{2} \right) \, \mathrm dy $$

(вот он ваш $\operatorname{erfc}$).

Да, это не точное выражение, разумеется, но пусть вопрос о том, чего мы потеряли, останется для ainour1 самостоятельным упражнением...

-- 11.07.2020 в 15:22 --

Кстати, этот самый комплексный мусор можно восстановить, заметив, что

$$ y^2 - \frac{1}{y^2} = \left( y + \frac{i}{y} \right)^2 - 2i $$

но, по-моему, лучше в ряды разложить этот маленький остаток:

$$ \exp(-x^2 y^{-2}) = \left. \exp(-x^2 z)\right|_{z \approx 0} = \ldots $$

[ainour1]

kotenok gav в сообщении #1473313 писал(а):

ainour1, ну так вот вам формула: post1473290.html#p1473290

Спасибо большое за формулу... Но боюсь это не совсем то что надо хотя все равно помощь....Забить в мапл я бы и сам смог если бы помучался, мне нужна не формула мне нужен метод взятия интеграла и литература где описываются такие интегралы. Если я предоставлю формулу это ничего не даст, единственное что я понял это надо сводит к интегралу пуассона, но хотелось бы узнать метод и класс таких интегралов.

[kotenok gav]

ainour1 в сообщении #1473319 писал(а):

Забить в мапл я бы и сам смог если бы помучался

Ни Maple, ни Mathematica не смогли вывести эту формулу, насколько я знаю.