Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.

[kotenok gav]

$5^3\times320=200^2$.

[dick]

Есть еще условие. Цитирую:
Таким образом $x_1$ имеет форму $6n+1$. Кроме того, из возможных $x_1$ нужно исключить числа формы $6n+1$, не являющиеся произведением чисел формы $6n+1$. Это числа, содержащие четное число множителей формы $6n-1$.

[kotenok gav]

Уф. Так, надо найти такие числа $a$, $b$ и $c$, что $b>a^3$, $a^3b=c^2$, и все простые множители числа $a^3+c$ дают остаток 1 при делении на 6. Вручную контпример не нашелся, так что попробуем призвать в тему Dmitriy40...

[Dmitriy40]

kotenok gav
Вы так перепугаете ... Я ж стал судорожно вспоминать каким боком я мог влезть в эту клоаку теорему Ферма ...

Итак.
Тривиальное решение: $a=1, b=c^2, c=6k$, отбираем только простые числа $c+1$ — они и будут в списке делителей в единственном экземпляре и в первой степени.
Первые (наименьшие по $b$) 5 решений для каждого из $a<100$:
$a=7, b=1008, c=588$
$a=7, b=4032, c=1176$
$a=7, b=6300, c=1470$
$a=7, b=9072, c=1764$
$a=7, b=12348, c=2058$
$a=13, b=4212, c=3042$
$a=13, b=7488, c=4056$
$a=13, b=11700, c=5070$
$a=13, b=16848, c=6084$
$a=13, b=29952, c=8112$
$a=19, b=10944, c=8664$
$a=19, b=17100, c=10830$
$a=19, b=33516, c=15162$
$a=19, b=43776, c=17328$
$a=19, b=55404, c=19494$
$a=31, b=40176, c=34596$
$a=31, b=54684, c=40362$
$a=31, b=71424, c=46128$
$a=31, b=111600, c=57660$, тут впервые три простых делителя $[7,13,31]$, до это было один или два
$a=31, b=135036, c=63426$
$a=37, b=65268, c=57498$
$a=37, b=107892, c=73926$
$a=37, b=133200, c=82140$
$a=37, b=161172, c=90354$
$a=37, b=191808, c=98568$
$a=43, b=99072, c=88752$
$a=43, b=125388, c=99846$
$a=43, b=154800, c=110940$
$a=43, b=187308, c=122034$
$a=43, b=303408, c=155316$
$a=49, b=121104, c=119364$
$a=49, b=129600, c=123480$
$a=49, b=133956, c=125538$
$a=49, b=142884, c=129654$
$a=49, b=147456, c=131712$
$a=61, b=265716, c=245586$
$a=61, b=316224, c=267912$
$a=61, b=371124, c=290238$
$a=61, b=494100, c=334890$
$a=61, b=562176, c=357216$
$a=67, b=347328, c=323208$
$a=67, b=472752, c=377076$
$a=67, b=542700, c=404010$
$a=67, b=617472, c=430944$
$a=67, b=697068, c=457878$
$a=73, b=444132, c=415662$
$a=73, b=515088, c=447636$
$a=73, b=591300, c=479610$
$a=73, b=672768, c=511584$
$a=73, b=851472, c=575532$
$a=79, b=557424, c=524244$
$a=79, b=639900, c=561690$
$a=79, b=821916, c=636582$
$a=79, b=1026684, c=711474$
$a=79, b=1137600, c=748920$
$a=91, b=946764, c=844662$
$a=91, b=1061424, c=894348$
$a=91, b=1310400, c=993720$
$a=91, b=1444716, c=1043406$
$a=91, b=1585584, c=1093092$
$a=97, b=1009188, c=959718$
$a=97, b=1260612, c=1072626$
$a=97, b=1396800, c=1129080$
$a=97, b=1539972, c=1185534$
$a=97, b=1690128, c=1241988$
Судя по всему можно наложить ограничение простоты $x=6k+1$ и оно же будет в списке делителей, а $a=x^n$.

Использованная программа на PARI/GP:

forstep(a=1,100,2,a3=a^3;n=0;for(b=a3+1,a3+10^6,c2=a3*b;c=0;if(!issquare(c2,&c),next);if((a3+c)%2==0,next);f=Set(factor(a3+c)[,1]);for(i=1,#f,if((f[i]-1)%6>0,next(2)));printf("a=%u, b=%u, c=%u:%u\n",a,b,c,f);n++;if(n==5,break)))

-- 06.07.2020, 01:36 --

Dmitriy40 в сообщении #1472539 писал(а):

Судя по всему можно наложить ограничение простоты $x=6k+1$ и оно же будет в списке делителей, а $a=x^n$.

Нет, всё ещё немного сложнее, есть решения с $a=133$, которое совсем не простое:
$a=133, b=2532852, c=2441082:[7,19,271]$
$a=133, b=2757888, c=2547216:[7,19,277]$
$a=133, b=2992500, c=2653350:[7,19,283]$
$a=133, b=3753792, c=2971752:[7,19,43]$
$a=133, b=4026708, c=3077886:[7,19,307]$
Видимо разрешены все комбинации из произведения простых вида $6k+1$ в любой степени, и эти же простые будут в списке делителей.

[kotenok gav]

Спасибо!

[dick]

Что же Вы молчите? Или эти упражнения для меня?
Объясните, пожалуйста.

[kotenok gav]

Так вот же вам контпример, который привел Dmitriy40: $7^3\times1008=588^2$.

[dick]

Пример правильный. Тут я ошибся при описании того, каким числом должна быть четная скобка, сказал "степень с нечетным показателем", а про единицу не подумал. Но не беда.
Важно, что $(a_1/3)^2$ делится на $z-y$. Значит и $x_1^2$ делится. Значит, после деления уравнения (1.1) на $z-y$, слева останется основание куба $z-y$, а справа от $z-y$ ничего не останется, что невозможно.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1472778 писал(а):

Значит и $x_1^2$ делится.

Почему?

[dick]

$x_1^2=(a_1/3+(z-y))^2=(a_1/3)^2+2(z-y)a_1/3+(z-y)^2$
Если $(a_1/3)^2$ делится на $z-y$, то и $x_1^2$ делится.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1472778 писал(а):

куба $z-y$,

$(z-y)^3$, что ли? Так у него основание - $z-y$.

[Dmitriy40]

Не понял, кто там не должен быть в первой степени, $b$ что ли (остальные и так не в первой)? Ну так вот контрпримеры с $b$ в кубе:

a=7, b=252, c=74088: [7,31]
a=7, b=1008, c=592704: [7,13,19]
a=7, b=2268, c=2000376: [7,19,307]
a=7, b=6300, c=9261000: [7,13,31,67]
a=7, b=9072, c=16003008: [7,13,37,97]

Ну и до кучи с $b$ в пятой степени:

a=7, b=4032, c=19118260224: [7,55738369]
a=7, b=20412, c=1102455222624: [7,3214155169]
a=7, b=42588, c=6932105657568: [7,21163,954979]
a=7, b=49392, c=10041268737024: [7,16921,1730089]
a=7, b=81648, c=35278567123968: [7,102852965377]

[dick]

kotenok gav
"...слева останется основание куба $z-y$" здесь имеется ввиду, что останется $(z-y)^1/3$

-- 08.07.2020, 00:12 --

Dmitriy40
Там шла речь о том, на какое число нужно умножить нечетный куб, что бы получить четный квадрат. И мне показалось, что это число будет обязательно кратно исходному кубу. А Вы показали, что необязательно.
То что писал об этом сегодня, к делу не относится.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1472809 писал(а):

"...слева останется основание куба $z-y$" здесь имеется ввиду, что останется $(z-y)^{1/3}$

А почему это целое число? $z-y$ может быть хоть пятой степенью, необязательно кубом.

[dick]

Потому что $x_1^3$ это произведение кубов простых чисел.