К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1469349 писал(а):

Он написал о неком гипотетическом случае, когда частица при измерении спина "не попала в датчик". Я не знаю что имелось ввиду, и как выглядит это "не попадание" но при любой сколь угодно изощренной постановке эксперимента, в случае если спин измерен, то спин частицы переходит в состояние, соответствующее результату измерений.

Вообще обычно под "не попала в датчик" подразумевается, что просто не было никакого взаимодействия.
В этом смысле можно думать о том, что при измерении у нас есть общая волновая функция частицы + прибора $|\psi_0\rangle = |\text{начальное состояние частицы}\rangle \cdot |\text{начальное состояние прибора}\rangle$, после успешного измерения у нас образуется новое состояние $|\psi_0\rangle = |\text{новое состояние частицы}\rangle \cdot |\text{новое состояние прибора}\rangle$[(или в общем случае суперпозиция таких состояний), а если не произошло взаимодействие, то у нас просто осталось начальное состояние $|\psi_0\rangle$.

Muha_ в сообщении #1469349 писал(а):

"В любом случае, если она выйдет, то ее спин будет в одном из ортогональных состояний, определяемых конструкцией установки" тоже звучит для вас плохо?

Имхо, так себе, но вроде бы похоже на правило Борна (см. сообщениe #1468858).

Muha_ в сообщении #1469349 писал(а):

Но если мы хотим рассматривать максимально простое квантовое измерение, то можно же измерять и описывать только спин.

Да, но мысль была в том, что вектор состояния описывает именно что состояние частицы, а не что-то абстрактное. Иначе нам бы не было это нужно.

Muha_ в сообщении #1469349 писал(а):

Вектор состояния, описывающий спин этой частицы содержит 2 комплексных числа.

Спин электрона описывается ровно одним (можно считать целым) числом: проекцией на какую-то выбранную ось.

Muha_ в сообщении #1469349 писал(а):

Например, в случае спина 1/2 можно подать пучок частиц в прибор Штерна-Герлаха, как-то сориентированный в пространстве, и получить на выходе прибора частицу с соответствующим образом сориентированным спином.

Если, например, в эксперименте Штерна-Герлаха сделать первичный отбор электронов по спину (скажем, проведя предварительный эксперимент Штерна-Герлаха, направив один из пучков во второй прибор при той же поляризации поля), то получим мы те же частицы с тем же спином. А вот если изменить поляризацию второго пучка, то получим вновь два пучка (скорее всего, я не делал вычислений, разной интенсивности в зависимости от угла между поляризациями, но с одинаковой при ортогональной конфигурации), чисто из-за принципа неопределённости на разные проекции спина.

[Muha_]

madschumacher в сообщении #1469960 писал(а):

Вообще обычно под "не попала в датчик" подразумевается, что просто не было никакого взаимодействия.
В этом смысле можно думать о том, что при измерении у нас есть общая волновая функция частицы + прибора $|\psi_0\rangle = |\text{начальное состояние частицы}\rangle \cdot |\text{начальное состояние прибора}\rangle$, после успешного измерения у нас образуется новое состояние $|\psi_0\rangle = |\text{новое состояние частицы}\rangle \cdot |\text{новое состояние прибора}\rangle$[(или в общем случае суперпозиция таких состояний), а если не произошло взаимодействие, то у нас просто осталось начальное состояние $|\psi_0\rangle$.

Не зная КМ достаточно хорошо очень сложно привести корректный пример. Допустим так. Размещаем в вакууме один атом и в определенный момент направляем на него некую частицу, чтобы он возбудился и излучил всего один фотон. Если установка достаточно велика, то в какой-то момент можно точно знать, что атом уже излучил фотон (или нельзя?). На выходе ставим кристалл с двойным лучепреломлением. На пути одного луча ставим датчик а второй луч отправляем в открытый космос. Допустим, мы знаем, что атом уже излучил фотон, но в ожидаемое время в датчике ничего не появилось. Значит фотон улетел в космос по второму пути. Фотон улетевший в космос совершенно точно поляризован по оси кристалла, в отличии от начального излученного атомом фотона, который находился в суперпозиции поляризаций. Получается, состояние излученного фотона измерено (его можно поймать в космосе и убедиться что он в определенном собственном состоянии), но взаимодействия фотона с прибором не было. Редукция волновой функции фотона произошла в момент, когда ее часть попала в датчик без воздействия на датчик, а вторая часть ушла в космос. Есть изъяны в цепи этих рассуждений? ИМХО, самый скользкий момент здесь, это существование в природе такого объекта как одиночный фотон до его измерения.

madschumacher в сообщении #1469960 писал(а):

Спин электрона описывается ровно одним (можно считать целым) числом: проекцией на какую-то выбранную ось.

Посмотрел параграф про спин в ЛЛ, там близкая терминология. Но, вообще говоря, в квантовой механике состояние системы описывается вектором состояний (волновой функцией) или, в более общем случае, матрицей плотности. Понятно, что если мы измеряем спин, то получаем значение из дискретного набора. Но до измерения состояние частицы описывается вектором состояний. В случае, когда речь идет об одной частице, ее спин все равно описывается суперпозицией состояний (вектором состояний) а не дискретным значением. В этом смысле получается, что если мы пропустили даже одну частицу через некий поляризующий прибор, то теперь с частицей связано описание (вектор состояния), содержащее направление этого прибора в 3-мерном пространстве (два угла к осям). Это описание, насколько я знаю, нельзя свести только к нашему незнанию в каком из дискретных состояний находится частица. Т.е. это "настоящее" физическое состояние. Но когда мы измерили поляризацию (спин), то получаем только дискретное значение.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1470089 писал(а):

Если установка достаточно велика, то в какой-то момент можно точно знать, что атом уже излучил фотон (или нельзя?).

С практической точки зрения "точно знать" нельзя ни в какой момент, т.к. у каждого процесса есть вероятность протекания (у взаимодействия атома с частицей, у излучения, у улавливания фотона электроникой).

Muha_ в сообщении #1470089 писал(а):

Фотон улетевший в космос совершенно точно поляризован по оси кристалла, в отличии от начального излученного атомом фотона, который находился в суперпозиции поляризаций.

Что-то я не уверен, что с кристаллом такая фишка прокатит, т.к. кристалл тоже не идеален, в том смысле, что он не единственный процесс реализует (его коэффициент пропускания меньше единицы). Например, он с той или иной степени лёгкости может поглотить фотон.

Muha_ в сообщении #1470089 писал(а):

ИМХО, самый скользкий момент здесь, это существование в природе такого объекта как одиночный фотон до его измерения.

Да нет, это то как раз реализуемо. Но где скользкие моменты в плане редукции волновой функции -- я не знаю, т.к. не специалист в этом.

Muha_ в сообщении #1470089 писал(а):

Это описание, насколько я знаю, нельзя свести только к нашему незнанию в каком из дискретных состояний находится частица.

Хорошо, Вы правильно подметили, спиновое состояние электрона будет характеризоваться единственным действительным числом $c = \frac{c_{\uparrow}}{c_{\downarrow}}$:
$|\psi\rangle = \frac{ c_{\uparrow} |\uparrow\rangle + c_{\downarrow} |\downarrow\rangle}{\sqrt{c_{\uparrow}^2 + c_{\downarrow}^2}}$.

[warlock66613]

madschumacher в сообщении #1469960 писал(а):

а если не произошло взаимодействие, то у нас просто осталось начальное состояние $|\psi_0\rangle$

Вообще, обычно непопадание частицы в датчик тоже является измерением, влияющим на волновую функцию. То есть, выкинув из результатов экперимента случаи, когда датчик срабатывал, вы получите иную статистику исходов, чем в случае когда датчика изначально не было. Это широко известный эффект: например, Пенроуз использовал его как аргумент против "квантовой реальности".

[madschumacher]

warlock66613 в сообщении #1470131 писал(а):

То есть, выкинув из результатов экперимента случаи, когда датчик срабатывал, вы получите иную статистику исходов, чем в случае когда датчика изначально не было.

Да, действительно, ерунду написал. В этом смысле $|\psi_0\rangle$ будет одним из векторов разложения ВФ системы частица + датчик. Спасибо за замечание.

[Muha_]

madschumacher в сообщении #1470108 писал(а):

спиновое состояние электрона будет характеризоваться единственным действительным числом $c = \frac{c_{\uparrow}}{c_{\downarrow}}$:
$|\psi\rangle = \frac{ c_{\uparrow} |\uparrow\rangle + c_{\downarrow} |\downarrow\rangle}{\sqrt{c_{\uparrow}^2 + c_{\downarrow}^2}}$.

Думаю, все же двумя действительными числами. $c = \frac{c_{\uparrow}}{c_{\downarrow}}$ ведь комплексное число.
Знакомясь с КМ, помню отметил для себя, что в дискретных случаях, если количеством возможных исходов для некой измеряемой системы равно $N$, то количество выбираемых действительных параметров в установке, которая может изготовить эту систему в любой суперпозиции состояний равно $2N-2$.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1470155 писал(а):

Думаю, все же двумя действительными числами. $c = \frac{c_{\uparrow}}{c_{\downarrow}}$ ведь комплексное число.

Ок, фаза действительно может быть важна в некоторых случаях (но далеко не для каждого эксперимента). И Вы правы, действительно измеряют обычно проще всего соотношение $\frac{|c_\uparrow|^2}{|c_\downarrow|^2}$, а не то, что я написал.

[Walker_XXI]

Muha_ в сообщении #1470089 писал(а):

Если установка достаточно велика, то в какой-то момент можно точно знать, что атом уже излучил фотон (или нельзя?).

Ну, точно знать нельзя - у экспоненты бесконечный хвост, но с определённой наперёд заданной вероятностью - можно.

Muha_ в сообщении #1470089 писал(а):

Фотон улетевший в космос совершенно точно поляризован по оси кристалла, в отличии от начального излученного атомом фотона, который находился в суперпозиции поляризаций. Получается, состояние излученного фотона измерено (его можно поймать в космосе и убедиться что он в определенном собственном состоянии), но взаимодействия фотона с прибором не было.

Тут уместно два замечания. Первое напрашивалось еще после одного из предыдущих Ваших сообщений. Фотон совершенно точно поляризован по одной из осей кристалла. Но это в базисе, связанном с осями первого кристалла. А в другом базисе, соответствующем другому положению второго кристалла (размещённого в далёком космосе с другой ориентацией осей), это уже не чистое состояние, а суперпозиция. Чтобы где-то там в космосе убедиться, что фотон в определённом собственном состоянии, нам нужна дополнительная классическая информация - собственно тот самый базис, по собственным состояниям которого мы проводим анализ (попросту говоря, нам нужно знать ориентацию осей первого кристалла).
Второе замечание касается взаимодействия с прибором. Кристалл с двойным лучепреломлением является частью прибора, и с ним взаимодействие было. Именно оно, а не наличие или отсутствие датчиков, даёт вам основание рассуждать о том, что на выходе фотон (с определённой вероятностью) находится в одном из двух собственных состояний, соответствующих осям кристалла. Выбор базиса определяется кристаллом, а не датчиками.

[beroal]

Walker_XXI в сообщении #1470620 писал(а):

Кристалл с двойным лучепреломлением является частью прибора, и с ним взаимодействие было. Именно оно, а не наличие или отсутствие датчиков, даёт вам основание рассуждать о том, что на выходе фотон (с определённой вероятностью) находится в одном из двух собственных состояний, соответствующих осям кристалла. Выбор базиса определяется кристаллом, а не датчиками.

Такой вопрос. Зависит ли состояние кристалла после прохождения фотона от того, в каком состоянии фотон вышел из кристалла? Ну, например, если импульс выходящего фотона зависит от его состояния, то кристалл должен почувствовать отдачу по закону сохранения импульса. Эту отдачу в принципе можно измерить. Дело в том, что в эксперименте

должна наблюдаться интерференция обоих путей фотона. Мне кажется, это противоречит тому, что состояние фотона можно измерить, измеряя состояние кристалла.

[Walker_XXI]

beroal в сообщении #1470627 писал(а):

Мне кажется, это противоречит тому, что состояние фотона можно измерить, измеряя состояние кристалла.

Навскидку, совершенно не задумываясь: да. Если начнёте измерять отдачу кристалла, то всё пойдёт немного иначе, чем без такого измерения.

[beroal]

Walker_XXI в сообщении #1470632 писал(а):

Если начнёте измерять отдачу кристалла, то всё пойдёт немного иначе, чем без такого измерения.

Так кристалл всегда будет передавать отдачу своему креплению. Как отличить измерение от неизмерения?

Ещё один эксперимент с интерференцией на основе эксперимента Штерна—Герлаха.

Здесь левый магнит обязательно должен почувствовать отдачу, потому что скорость электрона поворачивается вверх или вниз в зависимости от состояния спина электрона на выходе из левого магнита. В учебнике написано, что оба пути электрона будут интерферировать, как показано ниже.

[warlock66613]

beroal в сообщении #1470638 писал(а):

Как отличить измерение от неизмерения? :?

Дело в том, что разница в отдаче в обсуждаемом случае сама по себе микроскопическая и в естественных условиях остаётся таковой и не усиливается до макроскопических последствий за время эксперимента (электрон летит по макроскопическим меркам быстро). То есть состояние всей установки получается

$$| \text{нет отдачи}_\text{(микро)} \rangle + | \text{есть отдача}_\text{(микро)} \rangle,$$

причём

$$\langle \text{нет отдачи}_\text{(микро)} | \text{есть отдача}_\text{(микро)} \rangle \sim 1.$$

Это неизмерение, состояния интерферируют.

Но можно специально построить чувствительный детектор, который превратит микроскопическую разницу отдачи в макроскопическое различие вроде положения измерительной стрелки, зажжённой лампочки и т. п. Тогда состояние такого прибора будет

$$| \text{нет отдачи}_\text{(макро)} \rangle + | \text{есть отдача}_\text{(макро)} \rangle,$$

и

$$\langle \text{нет отдачи}_\text{(макро)} | \text{есть отдача}_\text{(макро)} \rangle \approx 0.$$

Это измерение, интерференция подавлена и из двух ортогональных состояний $| \text{нет отдачи}_\text{(макро)} \rangle$ и $| \text{есть отдача}_\text{(макро)} \rangle$ случайным образом (и в соответствии с правилом Борна) отбирается одно.

[Walker_XXI]

beroal в сообщении #1470638 писал(а):

Так кристалл всегда будет передавать отдачу своему креплению. Как отличить измерение от неизмерения?

Нет, не всегда. "Отдача креплению" - это длительный (по микроскопическим меркам) и многоступенчатый процесс. Если организовать процесс так, как представлено на Fig. 3.8, то отдача, образно говоря, передаётся кристаллу на "временное хранение", оставаясь квантовым микроявлением, а в конце "отбирается" от кристалла, так и не превратившись в макроотдачу. Другими словами, при наличии интерференции путей, мы не можем утверждать, что в промежуточном состоянии внутри установки импульс выходящего из кристалла фотона однозначно зависит от его состояния (того пути, по которому он прошёл в кристалле). Так что, в зависимости от нюансов реализации установки, мы наблюдаем что-то одно: либо отдачу без интерференции путей фотона, либо интерференцию, но без отдачи.

-- 26.06.2020, 16:56 --

Цитата:

Figure 1.6 A block diagram of Experiment 4. Note that we cannot indicate the path followed through the three-magnet modified SGx device since no measurement is carried out to select either a $|+x\rangle$ or $|-x\rangle$ spin state.

Если же, как Вы утверждаете, левый магнит чувствует отдачу, которая превращается в макроявление, то мы как раз проводим измерение и можем указать путь, по которому проследовала частица. И никакой интерференции не будет. Это аналог классического двухщелевого эксперимента.

[Muha_]

Walker_XXI в сообщении #1470620 писал(а):

Тут уместно два замечания. Первое напрашивалось еще после одного из предыдущих Ваших сообщений. Фотон совершенно точно поляризован по одной из осей кристалла. Но это в базисе, связанном с осями первого кристалла. А в другом базисе, соответствующем другому положению второго кристалла (размещённого в далёком космосе с другой ориентацией осей), это уже не чистое состояние, а суперпозиция.

Да, это понятно. При этом, правда, не очень понятна мотивация физиков к подобной терминологии. Фотон описывается вектором состояния. Если мы рассматриваем фотон в другом базисе, это все тот же вектор состояния и все тот же фотон (только в другом базисе). В каком-то базисе фотон всегда даст один гарантированный результат измерений, но выглядит необычным, что в этом случае говорят о фотоне в "чистом состоянии". Потому что речь на самом деле не о реальном состоянии фотона, а о базисе в котором рассматривается фотон. Думаю, такая терминология исторически чем-то оказалась удобна в физике, или другой вариант - я здесь что-то не понимаю. Можем ли мы вместо этого рассматривать как элемент реальности именно вектор состояния (амплитуды вероятностей альтернатив измерений), а результат измерения фотона рассматривать просто как результат измерения (точка на фотопластинке) а не как "состояние" фотона, который после измерения может вообще не существовать?

Walker_XXI в сообщении #1470620 писал(а):

Чтобы где-то там в космосе убедиться, что фотон в определённом собственном состоянии, нам нужна дополнительная классическая информация - собственно тот самый базис, по собственным состояниям которого мы проводим анализ (попросту говоря, нам нужно знать ориентацию осей первого кристалла).

Это тоже понятно. Но в общем случае, если у нас есть много одинаковых фотонов много, то информация базисе не нужна. Можно поворачивать детектор, пока не поймаем ось по которой исход всегда одинаковый.
Кроме того, отсутствие классической информации не выглядит важным фактом, потому что это информация, которую может не знать экспериментатор (за неимением хорошего телескопа), но в целом физически она доступна во вселенной, отличии от результатов измерений квантовых объектов.

Walker_XXI в сообщении #1470620 писал(а):

Второе замечание касается взаимодействия с прибором. Кристалл с двойным лучепреломлением является частью прибора, и с ним взаимодействие было. Именно оно, а не наличие или отсутствие датчиков, даёт вам основание рассуждать о том, что на выходе фотон (с определённой вероятностью) находится в одном из двух собственных состояний, соответствующих осям кристалла. Выбор базиса определяется кристаллом, а не датчиками.

Но взаимодействие с кристаллом, это в идеальном случае все еще унитарная эволюция? А редукция происходит только тогда, когда фотон пролетел мимо одного из датчиков и тот не сработал (или сработал).
Здесь вообще, для меня многое непонятно. Кристалл имеет макроскопические размеры и если он никак не изолирован от вселенной, то когда он получает импульс от фотона, этот импульс сразу оказывается "измеренным" при наличии прибора или без него (и фотоны вообще никак не могут интерферировать после кристалла). Возможно из принципа неопределенности как-то следует, что тот ничтожный импульс, который получает кристалл позволяет даже не изолированному от вселенной кристаллу оставаться в состоянии суперпозиции то время, которое фотон летит до детектора. И поэтому фотоны успевают интерферировать. Не видел пока подобных выкладок.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1470843 писал(а):

Потому что речь на самом деле не о реальном состоянии фотона, а о базисе в котором рассматривается фотон.

Не, тут хитрее, понятно это становится из матрицы плотности. Её мы всегда можем диагонализовать, приведя в каком-то базисе $|n\rangle$ к виду $\hat{\rho} = \sum_n \omega_n |n\rangle \langle n|$. Так вот, чистые состояния (которые собственно и описывают обычные формализмы КМ) -- это если из всех $\omega_n$ ненулевой только один из них. Фишка в том, что, "запутанные состояния" не обязательно являются "смешанными", первые именно базисозависимы, но это имеет смысл, т.к. в измерениях подобных штук (поляризаций, спинов) мы обычно привязаны к какому-то базису, задаваемому нашими установками.

Muha_ в сообщении #1470843 писал(а):

Можно поворачивать детектор, пока не поймаем ось по которой исход всегда одинаковый.

Тут надо помнить, что такую ось можно поймать только когда у нас есть чистое состояние (т.е. нужное направление с одним исходом существует в принципе), т.к. в общем случае у нас как раз будет смешанное состояние (простая визуализация: куча частиц с разными направлениями поляризаций). Это можно представить как раз через те фазы волновых функций, о которых Вы мне напоминали: в общем случае у нас имеется ансамбль частиц, но их фазы будут произвольными друг относительно друга. В выбранном базисе чистое состояние можно представить как $|\psi\rangle = \sum_n c_n \exp(-i\varphi_n) |n\rangle$, где $c_n,\varphi_n \in \mathbb{R}$ -- амплитуда и фаза соответствующего вклада. Элементы матрицы плотности будут при этом $\rho_{nm} = c_n c_m \exp(i\varphi_n - i\varphi_m)$. И когда мы усредним по всем возможным разностям фаз $\varphi_n - \varphi_m \in [0;2\pi)$, у нас останутся только диагональные элементы, а все недиагональные исчезнут. Это и будет смешанное состояние, которое мы наблюдаем. Если же у нас есть какие-то связанные между собой фазы, то некоторые недиагональные элементы не исчезнут, и в этом случае говорят о когеренции.