Бесконечное кольцо R

[vpb]

mihaild в сообщении #1469730 писал(а):

А зачем тут гомоморфизмы? Взяли наш необратимый элемент $a$, им порожден конечный идеал, значит число элементов вида $a\cdot x$ конечно, значит для какого-то $z$ есть бесконечное число $x_i$, таких что $x \cdot x_i = z$. Ну а попарные разности этих $x_i$ - делители нуля. Ничего факторизовать вроде бы не нужно.

Да, можно и так рассуждать. Так даже проще получается. Хотя, по большому счету, все те же яйца, только вид сбоку.

Lorein_ в сообщении #1469740 писал(а):

У меня была мысль, что если элементов вида $ax$ конечное число, то какие-от из элементов могут совпасть, например $ax = ay$, $a(x-y)=0$, так как $a$ необратим, то и $x-y$ необратим. Но почему число необратимых будет бесконечно?

Более того, поскольку элементов вида $ax$ конечное число, а самих $x$ бесконечное, то получается, что какой-то элемент вида $ax$ представляется в таком виде бесконечным числом способов, не так ли ? И какое дальше отсюда получается следствие ?

-- 20.06.2020, 16:22 --

Lorein_ в сообщении #1469727 писал(а):

По теореме о гомоморфизме если $Imf$ конечен, то $Imf \cong A/Kerf$ , следовательно $Kerf$ - бесконечно.

Теорема о гомоморфизме в том и состоит, что $\operatorname{Im} f \cong A/\operatorname{Ker}f$. И конечность $\operatorname{Im} f $ тут ни при чем. А Вам надо, по существу, доказать, что если $X$ --- какая-то абелева группа, $Y$ --- ее подгруппа, причем $X$ бесконечна, а факторгруппа $X/Y$ конечна, то $Y$ бесконечна. Вот и докажите (от противного, например). А после этого можно уже и ссылаться на теорему о гомоморфизме.

(строго говоря, для решения задачи это уже не нужно, потому что она решена способом, предложенным mihaild. Тем не менее это весьма полезное упражнение. Особо имея в виду, что у Вас какая-то с абстрактной алгеброй полная путаница, судя по написанному в теме выше.)

Наконец, для решения исходной задачи после всего сделанного остается рассмотреть гомоморфизм (как абелевых групп, а не как колец) $R\longrightarrow R$, заданный по правилу $x\mapsto ax$, и применить к нему доказанное ранее. Подробности можете подумать сами.

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469788 писал(а):

Более того, поскольку элементов вида $ax$ конечное число, а самих $x$ бесконечное, то получается, что какой-то элемент вида $ax$ представляется в таком виде бесконечным числом способов, не так ли ? И какое дальше отсюда получается следствие ?

Так как элементы вида $ax$ необратимы, то получили бесконечное число необратимых элементов. Противоречие. Утверждение доказано?

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469793 писал(а):

Так как элементы вида $ax$ необратимы, то получили бесконечное число необратимых элементов. Противоречие. Утверждение доказано?

Нет. Опять путаница на пустом месте. Подумайте еще.

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469794 писал(а):

Подумайте еще.

Элементов вида $ax$ конечное число, а самих $x$ бесконечное, получается, что какой-то элемент $b$ вида $ax$ представляется бесконечным числом способов, то есть $b=0$. Получаем множество $\left\lbrace x \in R| ax = 0\right\rbrace $ делителей нуля, в котором бесконечно много элементов, то есть получили бесконечное число необратимых элементов.

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469797 писал(а):

какой-то элемент $b$ вида $ax$ представляется бесконечным числом способов, то есть $b=0$

Гм. Что-то странное. Из того, что какое-то $b$ представляется в виде $b=ax$ бесконечным числом способов, вовсе не следует, что $b=0$.

[Lorein_]

Я совсем запуталась

-- 20.06.2020, 19:16 --

vpb в сообщении #1469794 писал(а):

Нет. Опять путаница на пустом месте. Подумайте еще.

Почему из того, что необратимый элемент умножается на бесконечное число элементов из кольца не следует то, что мы получили бесконечное число необратимых элементов?

Lorein_ в сообщении #1469793 писал(а):

$ax$ конечное число, а самих $x$ бесконечное

Раз $x$ бесконечное число, то как может быть в идеале конечное число элементов?

[provincialka]

Lorein_ в сообщении #1469799 писал(а):

Почему из того, что необратимый элемент умножается на бесконечное число элементов из кольца не следует то, что мы получили бесконечное число необратимых элементов?

Потому что результаты умножения могут совпадать между собой. Именно в силу необратимости сомножителя. Пусть $ax = ay$. Если $a$ обратимо, умножаем равенство (слева) на $a^{-1}$ и получаем, что $x=y$. Но с необратимым $a$ этот фокус проделать нельзя.
Например, если $a=0$, то и все $ax=0$. Где гарантия, что с каким-то другим необратимым $a$ все $ax$ будут различны?

-- 20.06.2020, 19:28 --

Не будут! Если $a$ -- делитель 0, то есть $ab=0$ для некоторого $b$, то $ax=a(x+b)$

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469788 писал(а):

Более того, поскольку элементов вида $ax$ конечное число, а самих $x$ бесконечное, то получается, что какой-то элемент вида $ax$ представляется в таком виде бесконечным числом способов, не так ли ? И какое дальше отсюда получается следствие ?

Если элементов вида $ax$ конечное число, то какие-то из элементов могут совпасть, например $ax = ay$, $a(x-y)=0$, $x,y \in R$, получается, что элемент $b$ представим как $b = a(x_{i}-y_{i})$, получаем, что разность $(x_{i}-y_{i})$ это делители нуля, то есть $a(x_{i}-y_{i}) = 0$, такое множество состоит из необратимых элементов, следовательно необратимых элементов бесконечно много?

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469828 писал(а):

Если элементов вида $ax$ конечное число, то какие-то из элементов могут совпасть, например $ax = ay$, $a(x-y)=0$, $x,y \in R$, получается, что элемент $b$ представим как $b = a(x_{i}-y_{i})$, получаем, что разность $(x_{i}-y_{i})$ это делители нуля, то есть $a(x_{i}-y_{i}) = 0$, такое множество состоит из необратимых элементов, следовательно необратимых элементов бесконечно много?

Да. Только вот в этом месте

Lorein_ в сообщении #1469828 писал(а):

элемент $b$ представим как $b = a(x_{i}-y_{i})$

Вы имели в виду некую другую формулу, не так ли ?

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469834 писал(а):

Вы имели в виду некую другую формулу, не так ли ?

Да, $b = ax_{i}$.

[vpb]

А при чем тогда $y_i$ ?

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469834 писал(а):

Вы имели в виду некую другую формулу, не так ли ?

Тогда не совсем понимаю о какой формуле идёт речь.

[vpb]

Я имею в виду, вот в этом фрагменте

Lorein_ в сообщении #1469828 писал(а):

Если элементов вида $ax$ конечное число, то какие-то из элементов могут совпасть, например $ax = ay$, $a(x-y)=0$, $x,y \in R$, получается, что элемент $b$ представим как $b = a(x_{i}-y_{i})$, получаем, что разность $(x_{i}-y_{i})$ это делители нуля, то есть $a(x_{i}-y_{i}) = 0$, такое множество состоит из необратимых элементов, следовательно необратимых элементов бесконечно много?

что означают элементы $y_i$, и зачем они там вообще ?

[Lorein_]

Хм...так как я начала рассуждения с совпадения элементов $ax$ и $ay$, то эти рассуждения я и продолжила $y_{i} \in R$.
Вообще можно переписать. Пусть элементов вида $ax$ конечное число, а $x$ бесконечное число, тогда элемент $b \in R$ представим в виде $b = ax_{i}$ , получаем, что $x_{i}$ делители нуля, то есть $ax_{i} = 0$, такое множество состоит из необратимых элементов, следовательно необратимых элементов бесконечно много.

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469856 писал(а):

Хм...так как я начала рассуждения с совпадения элементов $ax$ и $ay$, то эти рассуждения я и продолжила $y_{i} \in R$.
Вообще можно переписать. Пусть элементов вида $ax$ конечное число, а $x$ бесконечное число, тогда элемент $b \in R$ представим в виде $b = ax_{i}$ , получаем, что $x_{i}$ делители нуля, то есть $ax_{i} = 0$, такое множество состоит из необратимых элементов, следовательно необратимых элементов бесконечно много.

Что-то Вы совсем путаницу написали. Уверен, сегодня Вам уже пора отдохнуть.